1 Una sucesión $x_1, x_2, \ldots$ está definida por $x_1 = 1$ y $x_{2k}=-x_k, x_{2k-1} = (-1)^{k+1}x_k$ para todo $k \geq 1.$ Demuestre que $\forall n \geq 1$ $x_1 + x_2 + \ldots + x_n \geq 0.$ Propuesto por Gerhard Wöginger, Austria

2 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC \parallel AE,$ $AB = BC + AE,$ y $\angle ABC = \angle CDE.$ Sea $M$ el punto medio de $CE,$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $BCD.$ Dado que $\angle DMO = 90^{\circ},$ demuestre que $2 \angle BDA = \angle CDE.$ Propuesto por Nazar Serdyuk, Ucrania Amir

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Demuestre que existe un punto $J$ tal que para cualquier punto $X$ interior a $ABC$ , si $AX,BX,CX$ intersecan a $\omega$ en $A_1,B_1,C_1$ y $A_2,B_2,C_2$ son los reflejos de $A_1,B_1,C_1$ respecto a los puntos medios de $BC,AC,AB$ respectivamente, entonces $A_2,B_2,C_2,J$ se encuentran sobre una circunferencia.

2 Hay $n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Demuestre que el número de triángulos cuyos vértices se eligen entre estos $n$ puntos y cuya área es 1 no es mayor que $\frac23(n^2-n)$ . Amir

3 Los vértices y las aristas de un $n$ - gono regular están numerados $1,2,\dots,n$ en el sentido de las agujas del reloj, de modo que la arista $i$ se encuentra entre los vértices $i,i+1 \mod n$ . Ahora se asignan enteros no negativos $(e_1,e_2,\dots,e_n)$ a las aristas correspondientes y enteros no negativos $(k_1,k_2,\dots,k_n)$ a los vértices correspondientes, tales que: $i$ ) $(e_1,e_2,\dots,e_n)$ es una permutación de $(k_1,k_2,\dots,k_n)$ . $ii$ ) $k_i=|e_{i+1}-e_i|$ con los índices $\mod n$ . a) Demuestre que para todo $n\geq 3$ existen tales $n$ - uplas no nulas. b) Determine para cada $m$ el menor entero positivo $n$ tal que existe una $n$ - upla que satisface las condiciones anteriores y además $\{e_1,e_2,\dots,e_n\}$ contiene todos los $0,1,2,\dots m$ .

3 Sea $n >3$ un entero positivo impar y $n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ donde los $p_i$ son primos y los $\alpha_i$ son enteros positivos. Sabemos que \[m=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n}).\] Demuestre que existe un primo $P$ tal que $P|2^m -1$ pero $P \nmid n.$ Amir

2 Demuestre o refute que $\forall a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$ se tiene la siguiente desigualdad: \[3 \leq \frac{4a+b}{a+4b} + \frac{4b+c}{b+4c} + \frac{4c+a}{c+4a} < \frac{33}{4}\]

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $\omega$ una circunferencia cuyo centro $L$ se encuentra sobre el lado $BC$ . Suponga que $\omega$ es tangente a $AB$ en $B'$ y a $AC$ en $C'$ . Suponga también que el circuncentro $O$ del triángulo $ABC$ se encuentra sobre el arco menor $B'C'$ de $\omega$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $\omega$ se cortan en dos puntos. Propuesto por Härmel Nestra, Estonia

1 Considere 2009 cartas que están dispuestas en secuencia sobre una mesa. Inicialmente, todas las cartas tienen su cara superior blanca y su cara inferior negra. Las cartas están enumeradas del 1 al 2009. Dos jugadores, Amir y Ercole, hacen movimientos alternados, comenzando Amir. Cada movimiento consiste en que un jugador elige una carta con el número $k$ tal que $k < 1969$ cuya cara superior sea blanca, y luego este jugador voltea todas las cartas en las posiciones $k,k+1,\ldots,k+40.$ El último jugador que puede hacer un movimiento legal gana. (a) ¿Termina necesariamente el juego? (b) ¿Existe una estrategia ganadora para el jugador que comienza? Compárese también con la shortlist 2009, problema C1 de combinatoria.

2 Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se cortan en $E$ y las rectas $AD$ y $BC$ que se cortan en $F$ . Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $G$ y $H$ , respectivamente. Demuestre que $EF$ es tangente en $E$ a la circunferencia que pasa por los puntos $E$ , $G$ y $H$ . Propuesto por David Monk, Reino Unido