2 Diecisiete ciudades reciben servicio de cuatro aerolíneas. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos ciudades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje redondo con un número impar de aterrizajes. Amir

Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son servidas por diez aerolíneas internacionales $A_1,A_2, \dots , A_{10}$. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos de estas localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje redondo con un número impar de aterrizajes.

79 Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ formado por varios arcos cerrados. Supón que $K$ satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo $(\text{ii})$ Para todo punto $A$ que pertenezca a $K$, su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro en $A'$ no pertenecen a $K$. Demuestra que existen tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

81 Sea $\Pi$ el conjunto de los paralelepípedos rectangulares que tienen al menos una arista de longitud entera. Si un paralelepípedo rectangular $P_0$ se puede descomponer en paralelepípedos $P_1,P_2, \ldots ,P_N\in \Pi$, demuestra que $P_0\in \Pi$.

7 Encuentra todos los números $x \in \mathbb Z$ para los cuales el número \[x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\] es un cuadrado perfecto. Amir

8 En los lados del triángulo \(ABC\), se construyen tres triángulos isósceles semejantes \(ABP \ (AP = PB)\), \(AQC \ (AQ = QC)\) y \(BRC \ (BR = RC)\). Los dos primeros se construyen externamente al triángulo \(ABC\), pero el tercero se coloca en el mismo semiplano determinado por la recta \(BC\) que el triángulo \(ABC\). Demuestra que \(APRQ\) es un paralelogramo. Amir

9 Considera el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a otro término de la sucesión. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, se tiene $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentra los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este ordenamiento. Amir

10 ¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene el mayor número de divisores? Amir

14 Sea $\ell$ tangente a la circunferencia $k$ en $B$. Sea $A$ un punto sobre $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ el simétrico de $P$ con respecto a $AB$. Encuentra el conjunto de todos esos puntos $M$. Amir

12 Se asignará el número $0$ o $1$ a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos que dos asignaciones que se pueden obtener una de la otra mediante una rotación en el plano del polígono son idénticas)?