4 Determine todas las funciones $f : \mathbb N_0 \rightarrow \mathbb N_0 - \{1\}$ tales que \[f(n + 1) + f(n + 3) = f(n + 5)f(n + 7) - 1375, \qquad \forall n \in \mathbb N.\] Amir.S

5 Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $BC>CA$ . Sea $F$ el pie de la altura $CH$ del triángulo $ABC$ . La perpendicular a la recta $OF$ en el punto $F$ interseca a la recta $AC$ en $P$ . Demuestre que $\measuredangle FHP=\measuredangle BAC$ .

6 Halle todos los pares $(p,q)$ de números primos tales que \[m^{3pq} \equiv m \pmod{3pq} \qquad \forall m \in \mathbb Z.\] Amir

1 Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse como suma de los cuadrados perfectos de menos de $10$ enteros positivos impares. Amir

2 En la figura siguiente, se dan las áreas de los triángulos $AOD, DOC,$ y $AOB$ . Halle el área del triángulo $OEF$ en términos de las áreas de estos tres triángulos. [asy] import graph; size(11.52cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-2.4,xmax=9.12,ymin=-6.6,ymax=5.16; pair A=(0,0), F=(9,0), B=(4,0), C=(3.5,2), D=(1.94,2.59), O=(2.75,1.57); draw(A--(3,4),linewidth(1.2)); draw((3,4)--F,linewidth(1.2)); draw(A--F,linewidth(1.2)); draw((3,4)--B,linewidth(1.2)); draw(A--C,linewidth(1.2)); draw(B--D,linewidth(1.2)); draw((3,4)--O,linewidth(1.2)); draw(C--F,linewidth(1.2)); draw(F--O,linewidth(1.2)); dot(A,ds); label("$A$",(-0.28,-0.23),NE*lsf); dot(F,ds); label("$F$",(8.79,-0.4),NE*lsf); dot((3,4),ds); label("$E$",(3.05,4.08),NE*lsf); dot(B,ds); label("$B$",(4.05,0.09),NE*lsf); dot(C,ds); label("$C$",(3.55,2.08),NE*lsf); dot(D,ds); label("$D$",(1.76,2.71),NE*lsf); dot(O,ds); label("$O$",(2.57,1.17),NE*lsf); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); [/asy] Amir

4 Demuestre que existe un subconjunto $S$ de enteros positivos tal que podemos representar cada entero positivo como diferencia de dos elementos de $S$ de exactamente una manera. Amir

5 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ son iguales. Construimos cuatro triángulos equiláteros con centros $O_1,O_2,O_3,O_4$ sobre los lados $AB, BC, CD, DA$ , exteriormente a este cuadrilátero, respectivamente. Demuestre que $O_1O_3 \perp O_2O_4$ . Amir

6 Sean $x_1, x_2, \ldots, x_{12}$ doce números reales tales que, para cada $1 \leq i \leq 12$ , se tiene $|x_i| \geq 1$ . Sea $I=[a,b]$ un intervalo tal que $b-a \leq 2$ . Demuestre que el número de números de la forma $t= \sum_{i=1}^{12} r_ix_i$ , donde $r_i=\pm 1$ , que se encuentran dentro del intervalo $I$ , es menor que $1000$ . Amir

1 Sean $a,b$ dos números reales. Si para todo $x>0$ se cumple que $|a-b|<x$, entonces demuestre que $a=b$.

2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC<BC$ y circunferencia circunscrita $\Gamma_1$ . La circunferencia $\Gamma_2$ tiene centro $D$ situado sobre $\Gamma_1$ y es tangente a $BC$ en $E$ y a la prolongación de $AB$ en $F$ . Las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en $K, G$ , y la recta $KG$ corta a $EF$ y $CD$ en $M, N$ . Demuestre que $BCNM$ es cíclico.