4 Algunas mansiones del condado de Lipshire están conectadas por caminos. Los habitantes de mansiones conectadas por un camino se llaman vecinos. ¿Es siempre posible establecer en cada mansión un caballero (que siempre dice la verdad) o un mentiroso (que siempre miente) de modo que cada habitante pueda decir "El número de mentirosos entre mis vecinos es al menos el doble del número de caballeros"?

Una pila contiene $2021^{2021}$ piedras. En un movimiento, cualquier pila puede dividirse en dos pilas de modo que los números de piedras en ellas difieran por una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Después de algunos movimientos resultó que el número de piedras en cada pila es una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Demuestra que el número de movimientos realizados fue par.

Se dan un real $y>1$ y un entero positivo $n \leq y^{50}$ tal que todos los divisores primos de $n$ no exceden $y$. Demuestra que $n$ es un producto de $99$ factores enteros positivos (no necesariamente primos) que no exceden $y$.

5 En una tabla de $100\times 100$ se marcan $110$ cuadrados unitarios. ¿Es siempre posible reordenar filas y columnas de modo que todos los cuadrados unitarios marcados queden por encima de la diagonal principal o sobre ella?

Una tienda vende botellas con capacidades de $1$ litro, $2$ litros, $\dots$, hasta $1996$ litros. Los precios de las botellas satisfacen las siguientes dos condiciones: 1. Dos botellas tienen el mismo precio si y solo si sus capacidades $m$ y $n$ ( $m>n$ ) cumplen $m - n = 1000$ . 2. Cada botella con capacidad $m$ litros ( $1 \le m \le 1000$ ) cuesta $1996 - m$ dólares. Encuentra todos los pares de botellas con capacidades $m$ y $n$ litros tales que: $m+n=1996$ , El costo total del par sea mínimo, Usando el par, sea posible medir exactamente $k$ litros para todo entero $k$ desde $1$ hasta $1996$ . Nota: Las operaciones permitidas para medir son $\bullet$ Llenar o vaciar cualquiera de las dos botellas, $\bullet$ Verter líquido de una botella a la otra. Se considera que una cantidad de $k$ litros es medible si la suma de los litros en las dos botellas es igual a $k$ .

2008.2 Evelina tiene que preparar el escenario para la fiesta del colegio. Necesita una luna creciente y tiene una tarjeta circular de radio $r$. Coloca la punta del compás sobre la circunferencia de la tarjeta, traza un arco de radio $r\sqrt2$ y corta la tarjeta a lo largo de esa línea que dibujó. ¿Cuál es el área de la luna que obtiene Evelina?

6 En una tabla de $n\times n$ ( $n>1$ ) se marcan $k$ cuadrados unitarios. Se quiere reordenar filas y columnas de modo que todos los cuadrados unitarios marcados queden sobre la diagonal principal o en ella. ¿Para qué valor máximo de $k$ es siempre posible?

2 En el trapecio $ABCD$, $M$ es el punto medio de la base $AD$. El punto $E$ está en el segmento $BM$. Se sabe que $\angle ADB=\angle MAE=\angle BMC$. Demuestra que el triángulo $BCE$ es isósceles.

1 Los polinomios $F$ y $G$ satisfacen: $$F(F(x))>G(F(x))>G(G(x))$$ para todo $x$ real. Demuestra que $F(x)>G(x)$ para todo $x$ real.

6 Encuentra todos los enteros \( n \leq 3 \) tales que existe un conjunto \( S_n \) formado por \( n \) puntos del plano que satisfacen las siguientes dos condiciones: Cualesquiera tres puntos no son colineales. Ningún punto se encuentra dentro del círculo cuyo diámetro tiene extremos en cualesquiera dos puntos de \( S_n \). NOTA: Los puntos sobre la circunferencia no se consideran dentro del círculo.