Olimpiada Matemática Junior de Macedonia 2011 Problema 5
5 Decimos que un conjunto $M{}$ que contiene $4$ elementos está "conectado uniformemente" si para cada elemento $x\in M$ , al menos uno de los números $x-2$ o $x+2$ pertenece al conjunto $M.$ Sea $S_n$ el número de subconjuntos de $\{1,2,3\ldots,n\}$ "conectados uniformemente" . Halle el menor $n{}$ tal que $S_n \geq 2011.$
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2012 Problema 2
2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo de radio $1$ . Demuestre que \[ 0< (AB+BC+CD+AD)-(AC+BD) < 4. \]
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2012 Problema 4
4 Halle todos los primos $p$ y $q$ tales que $(p+q)^p = (q-p)^{(2q-1)}$
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2012 Problema 3
3 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos y $a+b+c+2=abc$ . Demuestre que \[\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq{2}. \]
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2014 Problema 5
5 Demuestre que existen infinitos conjuntos disjuntos por pares $A(1), A(2),...,A(2014)$ que no son vacíos, cuya unión es el conjunto de los enteros positivos y que satisfacen la siguiente condición: Para enteros positivos arbitrarios $a$ y $b$ , al menos dos de los números $a$ , $b$ y $GCD(a,b)$ pertenecen a uno de los conjuntos $A(1), A(2),...,A(2014)$ .
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2013 Problema 1
1 Sea $ x $ un número real tal que $ x^3 $ y $ x^2+x $ son números racionales. Demuestre que $ x $ es racional.
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2009 Problema 1
1 En un tablero están escritos los números del 1 al 2009. Se borran algunos de ellos y, en lugar de ellos, se escribe en el tablero el resto de la suma de los números borrados dividida por 13. Después de repetir este borrado varias veces, solo quedan 3 números, de los cuales dos son 9 y 999. Halle el tercer número.
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2009 Problema 2
2 Sean $ a $ y $ b $ números enteros. Sea $ a = a^{2}+b^{2}-8b-2ab+16$ . Demuestre que $ a $ es un cuadrado perfecto.
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2009 Problema 3
3 Sea $ \triangle ABC $ equilátero. Sobre el lado $ AB $ se eligen los puntos $ C_{1} $ y $ C_{2} $ , sobre el lado $ AC $ los puntos $ B_{1} $ y $ B_{2} $ , y sobre el lado $ BC $ los puntos $ A_{1} $ y $ A_{2} $ . Se da la siguiente condición: $ A_{1}A_{2} $ = $ B_{1}B_{2} $ = $ C_{1}C_{2} $ . Sean las intersecciones de las rectas $ A_{2}B_{1}$ y $ B_{2}C_{1} $ , $ B_{2}C_{1} $ y $ C_{2}A_{1} $ y $ C_{2}A_{1} $ y $ A_{2}B_{1} $ los puntos $ E $ , $ F $ y $ G $ , respectivamente. Muestre que el triángulo formado por $ B_{1}A_{2} $ , $ A_{1}C_{2} $ y $ C_{1}B_{2} $ es semejante a $ \triangle EFG $ .
Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2009 Problema 4
4 En cada celda $1\times1$ de un tablero rectangular está escrito un número natural. En un paso se permite duplicar los números escritos en cada celda de una fila elegida arbitrariamente, o disminuir en 1 los números escritos en las celdas de una columna elegida arbitrariamente. ¿Será posible que, después de un número finito de pasos, todos los números del tablero sean $0$ ?