2 Definimos la función $Z(A)$ que escribe los dígitos de $A$ en base $10$ en orden inverso. (Por ejemplo: $Z(521)=125$ ) . Llame a un número $A$ $good$ si el primer y el último dígito de $A$ son diferentes, ninguno de sus dígitos es $0$ y se cumple la igualdad: $$Z(A^2)=(Z(A))^2$$ . Halle todos los números buenos mayores que $10^6$ .

4 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros positivos tal que $deg(P)=699$ . Demuestre que si $P(1) \le 2022$ , entonces existen algunos coeficientes consecutivos cuya suma es $22$ , $55$ o $77$ .

5 Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , sean sus diagonales las que se intersecan en el punto $O$ . Tome los puntos medios de $AD$ y $BC$ como $M$ y $N$ respectivamente. Tome un punto $S$ sobre el arco $AB$ que no contiene a $C$ ni a $D$ tal que $$\angle SMA=\angle SNB$$ Demuestre que si las diagonales del cuadrilátero formado por las rectas $SM$ , $SN$ , $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $T$ , entonces $S$ , $O$ y $T$ son colineales.

6 Dada una sucesión infinita de enteros positivos $\{x_i\}$ tal que $$x_{n+2}=x_nx_{n+1}+1$$ Demuestre que para cualquier entero positivo $i$ existe un entero positivo $j$ tal que $x_j^j$ es divisible por $x_i^i$ . Observación: Desafortunadamente, hubo un error en el enunciado del problema durante la propia competencia. En la última frase debería decir «para cualquier entero positivo $i>1$ ...»

2 Un estante contiene $100$ volúmenes de una enciclopedia, numerados con todos los números naturales del $ 1$ al $100$ . En una operación, se pueden tomar tres volúmenes cualesquiera y reordenarlos de cualquier manera (es decir, si estos volúmenes estaban en los lugares $a, b, c$ , después de esta operación, estos volúmenes también estarán en los lugares $a, b, c$ , pero posiblemente en un orden diferente). ¿Cuál es el menor $m$ para el cual se puede afirmar que $m$ operaciones de este tipo permitirán ordenar todos los volúmenes, sin importar cómo estuvieran ordenados inicialmente? (Los volúmenes están en orden si el volumen 1 está en el lugar 1, el volumen 2 en el lugar 2, ..., el volumen 100 en el lugar 100.)

3 Las prolongaciones de los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ se intersecan en el punto $P$ , y las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $Q$ . Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCQ$ y $MNQ$ se intersecan en el punto $T$ ( $T\ne Q$ ) . Demuestre que si $\angle APD =90^\circ$ entonces la recta $PT$ biseca al segmento $MN$ .

4 El triángulo $ABC$ ( $AC > BC$ ) está inscrito en el círculo $\omega$ . La bisectriz $CN$ de este triángulo interseca a $\omega$ en el punto $M$ ( $M\ne C$ ) . Se marca un punto arbitrario $T$ sobre el segmento $BN$ . Sea $H$ el ortocentro del triángulo $MNT$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $MNH$ interseca a $\omega$ en el punto $R$ ( $R\ne M$ ) . Demuestre que $\angle ACT = \angle BCR$ .

1 Dados $a,b,c>0$ tales que $$a+b+c+\frac{1}{abc}=\frac{19}{2}$$ ¿Cuál es el mayor valor posible para $a$ ?

5 ¿Existen números naturales $a_1,a_2, \ldots, a_{100}$ distintos dos a dos que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: i) el número $a_1a_2\ldots a_{100}$ es divisible por $a_i+a_j$ para todo $1\le i < j\le 100$ , ii) para cada $k=1,2,\ldots ,100$ existen índices $i,j$ tales que $1\le i < j\le 100$ y el número $a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ no es divisible por $a_i+a_j$ ?

6 Se da un número natural $n$ . Una sucesión $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ de números reales se llama buena si $$x_1^3+x_2^3+\ldots +x_i^3=(x_1+x_2+ \ldots+ x_i)^2\,\,\, for \,\,\, each \,\,\, i=1,2, \ldots,n$$ Demuestre que el número de sucesiones buenas diferentes es a lo sumo ${3^{n-1}+2^{n-1}}$ . (Las sucesiones $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ y $(y_1,y_2, \ldots, y_n)$ se consideran diferentes si $x_i\ne y_i$ para al menos un $i=1,2, \ldots, n$ . )