6 Para $m = 1, 2, 3, ...$ denota $S(m)$ la suma de los dígitos de $m$, y sea $f(m)=m+S(m)$. Demuestra que para cada entero positivo $n$, existe un número que aparece exactamente $n$ veces en la sucesión $f(1),f(2),...,f(m),...$

3 Decimos que un número entero $n \ge 1$ es conservador si el divisor primo más pequeño de $(n!)^n+1$ es a lo sumo $n+2015$. Decide si el número de números conservadores es infinito o no.

1 Sea $n$ un cuadrado con 4 dígitos, tal que todos sus dígitos son menores que 6. Si sumamos 1 a cada dígito, el número resultante es otro cuadrado. Encuentra $n$.

2 Encuentra la suma \[1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ dígitos}}.\]

1 Dos triángulos isósceles con lados $x,x,a$ y $x,x,b$ ( $a \neq b$ ) tienen áreas iguales. Encuentra $x$ .

3 Un número $p$ es $perfecto$ si la suma de sus divisores, excepto $p$, es $p$. Sea $f$ una función tal que: $f(n)=0$, si $n$ es perfecto $f(n)=0$, si el último dígito de $n$ es 4 $f(a.b)=f(a)+f(b)$ Encuentra $f(1998)$

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC> AB$. Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $D$ el punto medio del arco menor $BC$ de esta circunferencia. Sean $E$ y $F$ puntos de los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $AE = AF$. Sea $P \neq A$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita a $AEF$ con $\Gamma$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de las rectas $PE$ y $PF$ con $\Gamma$ distintas de $P$, respectivamente. Sean $J$ y $K$ los puntos de intersección de las rectas $DG$ y $DH$ con las rectas $AB$ y $AC$ respectivamente. Muestra que la recta $JK$ pasa por el punto medio de $BC$.

5 Sea $n$ un entero positivo. Encuentra todas las $n$-adas $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de enteros positivos distintos tales que $$ \frac{(a_1 + d)(a_2 + d) \cdots (a_n + d)}{a_1 a_2 \cdots a_n} $$ sea un entero para todo entero $d \ge 0$.

3 Determina todas las ternas $\{a, b, c \}$ de enteros positivos coprimos (no necesariamente primos entre sí por pares) tales que $a + b + c$ divide simultáneamente a los tres números $a^{12} + b^{12}+ c^{12}$ , $ a^{23} + b^{23} + c^{23} $ y $ a^{11004} + b^{11004} + c^{11004}$.

2 Sea $ABCD$ un cuadrado con diagonales $AC$ y $BD$, y $P$ un punto en uno de los lados del cuadrado. Demuestra que la suma de las distancias desde $P$ a las diagonales es constante.