3 Suponga que $\triangle ABC$ es un triángulo regular de lado $3$ . Tome puntos $D,E,F$ sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $BD=1$ , $\angle ADE=\angle DEF=60^{\circ}$ . Halle la longitud de $AF$ . YII.I.

En un triángulo acutángulo \( ABC \), los puntos \( D \) y \( E \) son los pies de las alturas desde los vértices \( A \) y \( B \), respectivamente. \( M \) es el punto medio del lado \( BC \). \( D' \) es la reflexión de \( D \) con respecto a \( M \). La recta \( AM \) interseca la circunferencia circunscrita del triángulo \( ABC \) por segunda vez en \( P \). Dado que \( CD = 2BD \), demuestra que el cuadrilátero \( AED'P \) es cíclico. Propuesto por Mahdi Mashayekhi.

En los lados del triángulo \(\triangle ABC\) se encuentran los siguientes puntos: \(K\) y \(L\) sobre \(AB\), \(M\) sobre \(BC\), y \(N\) sobre \(CA\). Sean \[ P = AM\cap BN,\quad R = KM\cap LN,\quad S = KN\cap LM, \] y sea la recta \(CS\) la que corta a \(AB\) en \(Q\). Demuestra que los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\) son colineales.

Tiham está tratando de encontrar enteros positivos de 6 dígitos $ PQRSTU$ (donde los dígitos de $PQRSTU $ no son necesariamente distintos). Pero solo quiere los números donde la suma del número de 3 dígitos $ PQR$ y el número de 3 dígitos $STU$ es divisible por 37. ¿Cuántos números de este tipo puede encontrar Tiham?

1 Los cinco números reales $v,w,x,y,s$ satisfacen el sistema de ecuaciones \begin{align*} v&=wx+ys,\\ v^2&=w^2x+y^2s,\\ v^3&=w^3x+y^3s. \end{align*} Demuestre que al menos dos de ellos son iguales.

2 Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternadamente de acuerdo con las siguientes reglas : I.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] es un primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador $ {\mathcal A}$ gana la partida eligiendo el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana eligiendo el número 1. ¿Para cuáles $ n_0$ : a.) ¿tiene $ {\mathcal A}$ una estrategia ganadora? b.) ¿tiene $ {\mathcal B}$ una estrategia ganadora? c.) ¿no tiene ninguno de los dos jugadores una estrategia ganadora?

6A Investigue si existen $40$ números naturales consecutivos, todos ellos menores que $10^9$ y que no son números primos.

Sea \( a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots \) una sucesión de números reales estrictamente positivos. Para cada entero positivo \( n \) , defina \[ s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \quad \text{and} \quad \sigma_n = \frac{a_1}{1 + a_1} + \frac{a_2}{1 + a_2} + \cdots + \frac{a_n}{1 + a_n}. \] Muestre que si la sucesión \( s_1, s_2, \ldots, s_n, \ldots \) es no acotada, entonces la sucesión \( \sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n, \ldots \) también es no acotada. Propuesto por The Problem Selection Committee

3 Cada punto con coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco de radio $1/1000$ . (1) Demuestre que existe un triángulo equilátero cuyos vértices están en discos distintos. (2) Demuestre que todo triángulo equilátero con vértices en discos distintos tiene longitud de lado mayor que $96$ . Radu Gologan, Rumania Observación El "> 96" en (b) puede reforzarse a "> 124". Por cierto, la parte (a) de este problema es el lugar donde usé el conocido teorema de "Dedekind" . darij

3 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=a^2+b^2+c^2$ . Demuestre que : \[\frac{a^2}{a^2+ab}+\frac{b^2}{b^2+bc}+\frac{c^2}{c^2+ca} \geq \frac{a+b+c}{2}\]