G1 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $BC > AC$ , inscrito en una circunferencia $\Gamma$ . La circunferencia con centro $C$ y radio $CB$ interseca a $\Gamma$ en el punto $D$ , que está sobre el arco $AB$ que no contiene a $C$ . La circunferencia con centro $C$ y radio $CA$ interseca al segmento $CD$ en el punto $K$ . La recta paralela a $BD$ que pasa por $K$ interseca a $AB$ en el punto $L$ . Si $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el pie de la perpendicular trazada desde $H$ a $CL$ , demuestre que la recta $MN$ biseca al segmento $CH$ .

4 Joe y Penny juegan un juego. Inicialmente hay $5000$ piedras en una pila, y los dos jugadores quitan piedras de la pila haciendo una secuencia de movimientos. En el $k$-ésimo movimiento, se puede quitar cualquier número de piedras entre $1$ y $k$ inclusive. Joe hace los movimientos de número impar y Penny los de número par. El jugador que quita la última piedra es el ganador. ¿Quién gana si ambos juegan perfectamente?

El mismo que Otoño 2021, Nivel O Sénior

5 Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ enteros positivos tales que $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ es una permutación de $1,2,\dots,2023$, y $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ es una permutación de $1,2,\dots,2022$. Demuestra que $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$.

El mismo que Primavera 2022, Nivel A Sénior

1 Resuelva la ecuación $a^3+b^3+c^3=2001$ en enteros positivos. Mircea Becheanu, Rumania Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C = 90^\circ$ y $CA \neq CB$ . Sea $CH$ una altura y $CL$ una bisectriz interior. Demuestre que para $X \neq C$ en la recta $CL$ , se tiene $\angle XAC \neq \angle XBC$ . Demuestre también que para $Y \neq C$ en la recta $CH$ se tiene $\angle YAC \neq \angle YBC$ . Bulgaria Valentin

3 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sean $D$ , $E$ puntos sobre los lados $[AB]$ y $[AC]$ , respectivamente. Si $DF$ , $EF$ (con $F\in AE$ , $G\in AD$ ) son las bisectrices interiores de los ángulos del triángulo $ADE$ , demuestre que la suma de las áreas de los triángulos $DEF$ y $DEG$ es a lo sumo igual al área del triángulo $ABC$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad? Grecia Valentin

4 Sea $N$ un polígono convexo con 1415 vértices y perímetro 2001. Demuestre que podemos encontrar 3 vértices de $N$ que formen un triángulo de área menor que 1. Iris

G4 Sea $ABC$ un triángulo con lados de longitudes $a, b, c$ , inscrito en una circunferencia de radio $R$ y sea $I$ su incentro. Sean $P_1, P_2$ y $P_3$ las áreas de los triángulos $ABI, BCI$ y $CAI$ , respectivamente. Demuestre que $$\frac{R^4}{P_1^2}+\frac{R^4}{P_2^2}+\frac{R^4}{P_3^2}\ge 16$$