11.8 En el plano se dan $n \ge 3$ puntos tales que todas las distancias entre pares de ellos no superan $1$ . Nastya escribió un número real positivo en cada punto, de modo que la distancia entre dos puntos cualesquiera es al menos la suma de los números escritos en esos puntos. Demuestre que la suma de los números escritos por Nastya es menor que $1.5\sqrt{n}$ .

11.2 Por un punto fijo $C$ de la hipérbola $y = \frac{1}{x}$ se trazan todas las circunferencias posibles que intersecan a la hipérbola en otros tres puntos cuyas abscisas suman cero. Demuestre que todas esas circunferencias, además del punto $C$ , tienen un punto común más.

4 Sea $ ABCD $ un cuadrilátero convexo tal que $ AB<AD $ y $ \Delta ABC \sim \Delta ACD $ . Sean $ M $ y $ N $ los puntos medios de $ AD $ y $ BD $ , respectivamente. La recta que pasa por $ M $ paralela a $ CN $ interseca la mediatriz de $ AC $ en $ P. $ Sea $ Q $ un punto del segmento $AP $ tal que $ \angle AQC=90^\circ .$ Además, $ Q $ y $ B $ están en lados opuestos de la recta $ AD $ . Demuestre que $$2\angle ABC+\angle CQD=270 ^\circ .$$

1 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos distintos. Entre los números $a,b,c,d,a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,a+b+c,a+b+d,a+c+d,b+c+d,a+b+c+d,$ hay exactamente $k$ valores reales distintos. Halle el mínimo valor posible de $k$ .

4 Sea \( m \) un entero positivo. Demuestre que para todo entero \( n > 2m \) , \( n \) puede expresarse como la suma de \( m \) enteros mayores que 1, tales que para cada uno de estos \( m \) enteros, su mayor factor primo no supera $cn^{\frac{8}{15m-10}}$ , donde \( c \) es una constante que depende solo de \( m \) . Propuesto por Nailin Guan

4 Hay $2025$ cajas etiquetadas $1,2,…2025$ . Inicialmente, para cada entero $i$ con $1\le i\le 2025$ , la caja $i$ contiene $2^{i-1}$ piedras. Repetimos la siguiente operación: elija un entero $n\ge 2$ y enteros $1\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n \le 2025$ tales que cada caja $a_i$ (para $2\le i\le n$ ) contenga al menos una piedra. $\bullet$ Añada una piedra a la caja $a_1$ . $\bullet$ Para cada $i=2,3,…,n$ , retire una piedra de la caja $a_i$ . El proceso termina cuando todas las cajas excepto la caja $1$ están vacías. Halle el mínimo número posible de piedras en la caja $1$ cuando el proceso termina.

5 Halle todas las funciones $f$ , definidas sobre los números reales y con valores reales, tales que para todos los números reales $x,y$ , $f(x)f(f(x)+y)=f(x)^2+[x][y]$ . Aquí, para un número real $r$ , $[r]$ denota el mayor entero menor o igual que $r$ . Por ejemplo: $[3.14]=3, [5]=5, [-2.71]=-3$ .

$ \left(\alpha,S\right)$$ \alpha$$ \{1,2,\dots,n\}$$ S$$ \{1,2,\dots,n\}$\[ \forall x\in S: \alpha(x)\not\in S\]$ n!F_{n + 1}$$ F_n$$ F_1 = F_2 = 1$

4 Para cada par de enteros $(i,j)$ con $1\le i\le j\le100$, exactamente una de las afirmaciones $x_i=x_j$ o $x_i\neq x_j$ está escrita en un pizarrón. Determina el máximo entero no negativo $m$ tal que se cumple lo siguiente: Es posible asignar a cada una de $x_1 ,x_2,\ldots, x_{100}$ un valor igual a $0$ o $1$ de manera que al menos $m$ de las afirmaciones escritas en el pizarrón sean satisfechas.

2 Sean $a,b,c \in \mathbb {R}^{+}$ y $abc=1$ ; demuestre que $\frac {a+b}{(a+b+1)^2}+\frac {b+c}{(b+c+1)^2}+\frac {c+a}{(c+a+1)^2} \geq \frac {2}{a+b+c}$