3 Un camino merida de orden $2n$ es un camino de retícula en el primer cuadrante del plano $xy$ que une $(0,0)$ con $(2n,0)$ usando tres tipos de pasos $U=(1,1)$ , $D= (1,-1)$ y $L= (2,0)$ , es decir, $U$ une $x,y)$ con $(x+1,y+1)$ etc... Una subida en un camino merida es una cadena maximal de pasos consecutivos de la forma $U$ . Si $S(n,k)$ denota el número de caminos merdia de orden $2n$ con exactamente $k$ subidas, calcule $S(n,1)$ y $S(n,n-1)$ .

2 Demuestre que se puede hallar un $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que $\forall m \geq n_{0}$ , existen tres enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que (i) $m^3 < a < b < c < (m+1)^3$ ; (ii) $abc$ es el cubo de un entero.

2 Dados números reales $a,\alpha,\beta, \sigma \ and \ \varrho$ tales que $\sigma, \varrho > 0$ y $\sigma \varrho = \frac{1}{16}$ , demuestre que existen enteros $x$ y $y$ tales que \[ - \sigma \leq (x+\alpha_(ax + y + \beta ) \leq \varrho \]

1 Sea $ABC$ un triángulo con todos los ángulos $\leq 120^{\circ}$ . Sea $F$ el punto de Fermat del triángulo $ABC$ , es decir, el punto interior de $ABC$ tal que $\angle AFB = \angle BFC = \angle CFA = 120^\circ$ . Para cada uno de los tres triángulos $BFC$ , $CFA$ y $AFB$ , trace su recta de Euler - es decir, la recta que une su circuncentro y su baricentro. Demuestre que estas tres rectas de Euler pasan por un punto común. Observación. El punto de Fermat $F$ también se conoce como el primer punto de Fermat o el primer punto de Torricelli del triángulo $ABC$ . Floor van Lamoen darij

3 Si $a$ , $b$ , $c$ son tres números reales positivos tales que $ab+bc+ca = 1$ , demuestre que \[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]

1 Sean $0 <a <b$ dos números racionales. Sea $M$ un conjunto de números reales positivos con las propiedades: (i) $a \in M$ y $b \in M$ ; (ii) si $x$ $\in M$ y $y \in M$ , entonces $\sqrt{xy} \in M$ . Sea $M^*$ el conjunto de todos los números irracionales de $M$ . Demuestre que para todo $c,d$ tales que $a <c <d<b$ , $M^*$ contiene un elemento $m$ con la propiedad $c<m<d$

1 Considere un polígono de $n$ - lados inscrito en una circunferencia ( $n \geq 4$ ) . Particióne el polígono en $n-2$ triángulos usando diagonales que no se intersecan. Demuestre que, independientemente de la triangulación, la suma de los inradios de los triángulos es constante.

2 Halle todas las ternas $(x,y,n)$ de enteros positivos tales que \[ (x+y)(1+xy) = 2^{n} \]

3 Suponga que el polinomio $P(x) \equiv x^3 + ax^2 + bx +c$ tiene solo ceros reales y sea $Q(x) \equiv 5x^2 - 16x + 2004$ . Suponga que $P(Q(x)) = 0$ no tiene raíces reales. Demuestre que $P(2004) > 2004$

4 Sea $f$ una biyección del conjunto de todos los números naturales sobre sí mismo. Demuestre que existen enteros positivos $a < a+d < a+ 2d$ tales que $f(a) < f(a+d) <f(a+2d)$