3 Sean $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ números reales positivos. Denótese por $ X = \sum_{i = 1}^{m}x,Y = \sum_{j = 1}^{n}y.$ Demuestre que $ 2XY\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}|x_{i} - y_{j}|\ge X^2\sum_{j = 1}^{n}\sum_{l = 1}^{n}|y_{i} - y_{l}| + Y^2\sum_{i = 1}^{m}\sum_{k = 1}^{m}|x_{i} - x_{k}|$ Fang-jh

1 Determina todos los números reales $\alpha$ tales que, para todo entero positivo $n,$ el entero $$\lfloor\alpha\rfloor +\lfloor 2\alpha\rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha\rfloor$$ sea un múltiplo de $n.$ (Nota que $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z.$ Por ejemplo, $\lfloor -\pi\rfloor =-4$ y $\lfloor 2\rfloor= \lfloor 2.9\rfloor =2.$ ) Propuesto por Santiago Rodríguez, Colombia

2 Determina todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que $$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$$ se cumple para todos los enteros $n\geqslant N.$ (Nota que $\gcd(x, y)$ denota el máximo común divisor de los enteros $x$ e $y.$ ) Propuesto por Valentio Iverson, Indonesia

3 Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos, y sea $N$ un entero positivo. Supón que, para cada $n > N$, $a_n$ es igual al número de veces que $a_{n-1}$ aparece en la lista $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Demuestra que al menos una de las sucesiones $a_1, a_3, a_5, \dots$ y $a_2, a_4, a_6, \dots$ es eventualmente periódica. (Una sucesión infinita $b_1, b_2, b_3, \dots$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p} = b_m$ para todo $m \ge M$.)

4 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC < BC$. Sean $I$ el incentro y $\omega$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$, respectivamente. Sea $X$ el punto sobre la recta $BC$ distinto de $C$ tal que la recta que pasa por $X$ paralela a $AC$ es tangente a $\omega$. De manera similar, sea $Y$ el punto sobre la recta $BC$ distinto de $B$ tal que la recta que pasa por $Y$ paralela a $AB$ es tangente a $\omega$. Sea $AI$ que intersecta la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $P \ne A$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$. Propuesto por Dominik Burek, Polonia.

4 Halle el menor entero positivo $n$ con la propiedad de que en el conjunto $\{70, 71, 72,... 70 + n\}$ se puedan elegir dos números distintos cuyo producto sea el cuadrado de un entero.

1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = 8$ . Demuestre que $\frac{ab + 4}{a + 2}+\frac{bc + 4}{b + 2}+\frac{ca + 4}{c + 2}\ge 6$ .

5 Sea $E$ un conjunto finito de puntos tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ colineales. Muestre que se cumple al menos una de las siguientes alternativas: (i) $E$ contiene cinco puntos que son vértices de una pirámide convexa que no tiene ningún otro punto en común con $E;$ (ii) algún plano contiene exactamente tres puntos de $E.$ Amir

1 Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ -ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$ . Un triángulo $XYZ$ , congruente con $OAB$ y que inicialmente coincide con él, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ recorren cada uno toda la frontera del polígono, permaneciendo $X$ en el interior del polígono. Halle el lugar geométrico de $X$ .

3 Determine todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe un \(n\) - ágono espacial que satisface ambas propiedades siguientes: (a) Sus vértices son distintos, se encuentran sobre las aristas de un tetraedro (pero no en los vértices del tetraedro), y cualesquiera dos vértices consecutivos pertenecen a aristas diferentes del tetraedro. (b) Sus lados se encuentran sobre las caras del tetraedro, no hay dos lados que se intersequen salvo en los vértices, y cualesquiera dos lados consecutivos pertenecen a caras diferentes.