g3.1 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo isósceles con $\angle BAC = 100^o$. Sean $D, E$ puntos en el rayo $\overrightarrow{AB}$ tales que $BC = AD = BE$. Muestra que $BC \cdot DE = BD \cdot CE$.

g4 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $A$ como vértice, menor que $60^o$, y sea $D$ el punto sobre el lado $AC$ tal que $\angle DBC = \angle BAC$. Sea $L_1$ una recta que pasa por el punto $A$ y es paralela al lado $BC$. Sea $L_2$ la mediatriz del lado $BD$. $L_1$ y $L_2$ se intersectan en el punto $E$. Demuestra que $EC$ es bisecado por $AB$.

g5 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sean las tangentes a $\Gamma$ en los puntos $B$ y $C$ que se intersectan en el punto $D$. Sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $\angle BAM = \angle CAD$. Demuestra que el centro de $\Gamma$ está sobre la recta $MD$.

g6 Sea $ABC$ un triángulo con ángulo recto en $A$, y sea $D$ un punto sobre el lado $BC$ tal que $AD$ es perpendicular al lado $BC$. Sean $W_1$ y $W_2$ los centros de las circunferencias inscritas de los triángulos $ABD$ y $ADC$, respectivamente. La recta $W_1W_2$ corta a $AB$ en $X$ y a $AC$ en $Y$. Demuestra que $AX = AD = AY$.

g7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $E$ y $F$ sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, y sea $O$ su circuncentro. Sea $AO$ que intersecta a $BC$ en el punto $D$. Sea la perpendicular desde el punto $D$ a los lados $AB$ y $AC$ que los intersecta en los puntos $M,N$ respectivamente. Sea la perpendicular al lado $BC$ desde los puntos $E,F,M,N$ que lo intersecta en los puntos $E',F',M',N'$ respectivamente. Demuestra que $A, D, E, F$ están sobre la misma circunferencia si y solo si $E'F' = M'N'$.

g8.7 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con lado más corto $AB$ y lado más largo $CD$, y supongamos que $AB < CD$. Muestra que existe un punto $E \ne C, D$ en el segmento $CD$ con la siguiente propiedad: Para todos los puntos $P \ne E$ en el lado $CD$, si definimos $O_1$ y $O_2$ como los circuncentros de $\vartriangle APD$ y $\vartriangle BPE$ respectivamente, entonces la longitud de $O_1O_2$ no depende de $P$.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales tales que $$\lceil a \rceil + \lceil b \rceil + \lceil c \rceil + \lfloor a + b \rfloor + \lfloor b + c \rfloor + \lfloor c + a \rfloor = 2020$$ Demuestra que $$\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + \lfloor c \rfloor + \lceil a + b + c \rceil \ge 1346$$ Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x$, y $\lceil x \rceil$ es el menor entero mayor o igual que $x$. Es decir, $\lfloor x \rfloor$ es el único entero que satisface $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$, y $\lceil x \rceil$ es el único entero que satisface $\lceil x \rceil - 1 < x \le \lceil x \rceil$. Propuesto por Ariel García

Sea $n$ un entero mayor que $1$. Una cierta escuela tiene $1+2+\dots+n$ estudiantes y $n$ aulas, con capacidades para $1, 2, \dots, n$ personas, respectivamente. Los niños juegan un juego en $k$ rondas de la siguiente manera: en cada ronda, cuando suena la campana, los estudiantes se distribuyen entre las aulas de modo que no excedan las capacidades de las aulas, y si dos estudiantes compartieron aula en una ronda anterior, no pueden volver a hacerlo en la ronda actual. Para cada $n$, determina el mayor valor posible de $k$. Propuesto por Victor Domínguez

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos circunferencias que se intersecan en los puntos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $A$ interseca a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en $C$ y $D$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de las rectas tangentes a $\Gamma_1$ en $A$ y $C$, y sea $Q$ la intersección de las rectas tangentes a $\Gamma_2$ en $A$ y $D$. Sea $X$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $BCP$ y $BDQ$, y sea $Y$ la intersección de las rectas $AB$ y $PQ$. Demuestra que $C$, $D$, $X$ y $Y$ son concíclicos. Propuesto por Ariel García.

Sea $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $n$ y números primos $p$: $$p \mid f(n)f(p-1)!+n^{f(p)}.$$ Propuesto por Dorlir Ahmeti