1 Dos cuerdas perpendiculares de un círculo, $AM, BN$ , que se intersecan en el punto $K$ , determinan en el círculo cuatro arcos de longitudes distintas dos a dos, siendo $AB$ el menor de ellos. Trazamos las cuerdas $AD, BC$ con $AD // BC$ y $C, D$ diferentes de $N, M$ . Si $L$ es el punto de intersección de $DN, M C$ y $T$ el punto de intersección de $DC, KL,$ demuestre que $\angle KTC = \angle KNL$ .

2 Para un triángulo fijo $ABC$ elegimos un punto $M$ sobre el rayo $CA$ (después de $A$ ) , un punto $N$ sobre el rayo $AB$ (después de $B$ ) y un punto $P$ sobre el rayo $BC$ (después de $C$ ) de manera tal que $AM -BC = BN- AC = CP – AB$ . Demuestre que los ángulos del triángulo $MNP$ no dependen de la elección de $M, N, P$ .

3 Los vértices $ A$ y $ B$ de un triángulo equilátero $ ABC$ están sobre un círculo $k$ de radio $1$ , y el vértice $ C$ está en el interior del círculo $ k$ . Un punto $ D$ , diferente de $ B$ , está sobre $ k$ de modo que $ AD=AB$ . La recta $ DC$ interseca a $ k$ por segunda vez en el punto $ E$ . Halle la longitud del segmento de recta $ CE$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo, ( $BC < AB$ ) . La recta $l$ que pasa por el vértice $C$ y es ortogonal a la bisectriz $BE$ del $\angle B$ , corta a $BE$ y a la mediana $BD$ del lado $AC$ en los puntos $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestre que el segmento $DF$ biseca al segmento $EG$ .

5 ¿Es posible cubrir un cuadrado dado con varios triángulos rectángulos congruentes cuyo ángulo agudo sea igual a ${{30}^{o}}$ ? (Los triángulos no pueden superponerse ni sobresalir de los márgenes del cuadrado.)

6 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A<{{90}^{o}} $ . Exterior al triángulo consideramos los triángulos isósceles $ABE$ y $ACZ$ con bases $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si el punto medio $D$ del lado $BC$ es tal que $DE \perp DZ$ y $EZ = 2 \cdot ED$ , demuestre que $\angle AEB = 2 \cdot \angle AZC$ .

7 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ . El punto $D$ está sobre el lado $AB$ de modo que la semicircunferencia con diámetro $BD$ y centro $O$ es tangente al lado $AC$ en el punto $P$ e interseca al lado $BC$ en el punto $Q$ . El radio $OP$ interseca a la cuerda $DQ$ en el punto $E$ de modo que $5 \cdot PE = 3 \cdot DE$ . Halle la razón $\frac{AB}{BC}$ .

10 Sea $\Gamma$ un círculo de centro $O$ , y sea $\delta$ . una recta en el plano de $\Gamma$ que no lo interseca. Denotemos por $A$ el pie de la perpendicular trazada desde $O$ sobre $\delta$ . , y sea $M$ un punto (variable) sobre $\Gamma$ . Denotemos por $\gamma$ el círculo de diámetro $AM$ , por $X$ el punto de intersección (distinto de M ) de $\gamma$ y $\Gamma$ , y por $Y$ el punto de intersección (distinto de $A$ ) de $\gamma$ y $\delta$ . Demuestre que la recta $XY$ pasa por un punto fijo.

11 Considere un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB \ne AC$ . Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$ , por $D, E$ los pies de las alturas trazadas desde $B, C$ respectivamente, y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $DE$ y $BC$ . La perpendicular trazada desde $M$ a $AC$ corta a la perpendicular trazada desde $C$ a $BC$ en el punto $R$ . Demuestre que las rectas $PR$ y $AM$ son perpendiculares.

2 Sea $n \ge 2$ un entero positivo fijo. Un entero se llamará " $n$ - libre" si no es múltiplo de una $n$ - ésima potencia de un primo. Sea $M$ un conjunto infinito de números racionales, tal que el producto de cualesquiera $n$ elementos de $M$ sea un entero $n$ - libre. Demuestre que $M$ contiene solo enteros.