2 Demuestre que existe una partición del conjunto $A = \{1^3, 2^3, \ldots , 2000^3\}$ en $19$ subconjuntos no vacíos tal que la suma de los elementos de cada subconjunto sea divisible por $2001^2$ . Amir

3 Las circunferencias $W_1, W_2, W_3$ del plano son tangentes exteriormente entre sí por pares. Sea $P_1$ el punto de tangencia entre las circunferencias $W_1$ y $W_3$ , y sea $P_2$ el punto de tangencia entre las circunferencias $W_2$ y $W_3$ . $A$ y $B$ , ambos distintos de $P_1$ y $P_2$ , son puntos de $W_3$ tales que $AB$ es un diámetro de $W_3$ . La recta $AP_1$ interseca a $W_1$ nuevamente en $X$ , la recta $BP_2$ interseca a $W_2$ nuevamente en $Y$ , y las rectas $AP_2$ y $BP_1$ se intersecan en $Z$ . Demuestre que $X, Y$ y $Z$ son colineales.

4 La sucesión de polinomios Pn (x), n ∈ N se define como sigue: P0 (x) = x, P1 (x) = 4x³ + 3x, Pn+1 (x) = (4x² + 2)Pn (x) − Pn−1 (x), para todo n ≥ 1. Para todo entero positivo m, consideramos el conjunto A(m) = { Pn (m) | n ∈ N }. Demuestre que los conjuntos A(m) y A(m+4) no tienen elementos comunes.

1 Los números positivos $\alpha ,\beta , x_1, x_2,\ldots, x_n$ ( $n \geq 1$ ) satisfacen $x_1+x_2+\cdots+x_n = 1$ . Demuestre que \[\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^3}{\alpha x_i+\beta x_{i+1}} \geq \frac{1}{n(\alpha+\beta)}.\] Nota. $x_{n+1}=x_1$ . Amir

2 Sea $A$ un conjunto que contiene $4k$ enteros positivos consecutivos, donde $k \geq 1$ es un entero. Halle el menor $k$ para el cual el conjunto A puede particionarse en dos subconjuntos que tengan el mismo número de elementos, la misma suma de elementos, la misma suma de los cuadrados de los elementos y la misma suma de los cubos de los elementos.

3 Un triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia $G$ . Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los arcos $BC$ y $AC$ , respectivamente, y $D$ es un punto arbitrario del arco $AB$ (que no contiene a $C$ ) . Los puntos $I_1$ y $I_2$ son los incentros de los triángulos $ADC$ y $BDC$ , respectivamente. Si la circunferencia circunscrita del triángulo $DI_1I_2$ corta a $G$ nuevamente en $P$ , demuestre que los triángulos $PNI_1$ y $PMI_2$ son semejantes.

4 Sea $C$ la circunferencia con centro $O(0,0)$ y radio $1$ , y sean $A(1,0), B(0,1)$ puntos de la circunferencia. Los puntos distintos $A_1,A_2, ....,A_{n-1}$ de $C$ dividen el arco menor $AB$ en $n$ partes iguales ( $n \ge 2$ ) . Si $P_i$ es la proyección ortogonal de $A_i$ sobre $OA$ ( $i =1, ... ,n-1$ ) , halle todos los valores de $n$ tales que $P_1A^{2p}_1 +P_2A^{2p}_2 +...+P_{n-1}A^{2p}_{n-1}$ sea un entero para todo entero positivo $p$ .

7 Sea $ABCDA_1B_1C_1D_1$ un cubo. Sobre los lados $AB{}$ y $AD{}$ se encuentran los puntos $M{}$ y $N{}$ , respectivamente, tales que $AM+AN=AB$ . Demuestre que la medida del ángulo diedro entre los planos $(MA_1C)$ y $(NA_1C)$ no depende de las posiciones de $M{}$ y $N{}$ . Halle esta medida.

8 Sea $X$ un conjunto con $n{}$ elementos, $n\in\mathbb{N}$ . Halle el mayor entero $m$ $(m\geq2)$ para el cual existen $m$ subconjuntos de $X$ tales que cada dos de ellos no son disjuntos.

6 En el triángulo $ABC$ el ángulo $C$ es obtuso, $m(\angle A)=2m(\angle B)$ y las longitudes de los lados son enteras. Halle el menor perímetro posible de este triángulo.