1 Sea $n\geq 2$ un entero y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos con suma $1$ . Demuestre que $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{1-a_k}(a_1+a_2+\cdots+a_{k-1})^2 < \frac{1}{3}.$$

1 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $n$ enteros positivos, y sean $b_1, b_2, \ldots, b_m$ $m$ enteros positivos tales que $a_1 a_2 \cdots a_n = b_1 b_2 \cdots b_m$ . Demuestre que una tabla rectangular con $n$ filas y $m$ columnas puede llenarse con entradas enteras positivas de tal manera que * el producto de las entradas de la $i$ - ésima fila es $a_i$ (para cada $i \in \left\{1,2,\ldots,n\right\}$ ) ; * el producto de las entradas de la $j$ - ésima fila es $b_j$ (para cada $i \in \left\{1,2,\ldots,m\right\}$ ) . darij

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes dos a dos distintas. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices internas de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ cortan a $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro de la circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . De manera similar, sea $O_D$ el centro de la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestre que $O$ está sobre la recta $\overline{O_BO_D}$ .

3 Determine todos los enteros $n\geqslant 2$ con la siguiente propiedad: todo conjunto de $n$ enteros dos a dos distintos cuya suma no es divisible por $n$ puede ordenarse de alguna manera $a_1,a_2,\ldots, a_n$ de modo que $n$ divida a $1\cdot a_1+2\cdot a_2+\cdots+n\cdot a_n.$ Arsenii Nikolaiev, Anton Trygub, Oleksii Masalitin y Fedir Yudin

3 Considere un tablero cuadriculado de $3m\times 3m$ , donde $m$ es un entero mayor que $1.$ Una rana se sienta en la celda de la esquina inferior izquierda $S$ y quiere llegar a la celda de la esquina superior derecha $F.$ La rana puede saltar de cualquier celda a la celda siguiente a la derecha o a la celda siguiente hacia arriba. Algunas celdas pueden ser pegajosas , y la rana queda atrapada una vez que salta a una de esas celdas. Un conjunto $X$ de celdas se denomina bloqueante si la rana no puede llegar a $F$ desde $S$ cuando todas las celdas de $X$ son pegajosas. Un conjunto bloqueante es minimal si no contiene un conjunto bloqueante más pequeño. Demuestre que existe un conjunto bloqueante minimal que contiene al menos $3m^2-3m$ celdas. Demuestre que todo conjunto bloqueante minimal contiene a lo sumo $3m^2$ celdas.

2 Sea $r>1$ un número racional. Alice juega un juego de solitario sobre una recta numérica. Inicialmente hay una cuenta roja en $0$ y una cuenta azul en $1$ . En un movimiento, Alice elige una de las cuentas y un entero $k \in \mathbb{Z}$ . Si la cuenta elegida está en $x$ y la otra cuenta está en $y$ , entonces la cuenta en $x$ se mueve al punto $x'$ que satisface $x'-y=r^k(x-y)$ . Halle todos los $r$ para los cuales Alice puede mover la cuenta roja a $1$ en a lo sumo $2021$ movimientos.

3 Un cazador y un conejo invisible juegan un juego sobre una cuadrícula cuadrada infinita. Primero el cazador fija una coloración de las celdas con un número finito de colores. Luego el conejo elige en secreto una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa al cazador del color de su celda actual y luego se mueve en secreto a una celda adyacente que no haya visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten una arista). El cazador gana si después de un tiempo finito ocurre alguna de las dos cosas: el conejo no puede moverse; o el cazador puede determinar la celda en la que comenzó el conejo. Decida si existe una estrategia ganadora para el cazador. Propuesto por Aron Thomas

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\Omega.$ Sea la tangente a $\Omega$ en $D$ que corta a los rayos $BA$ y $BC$ en $E$ y $F,$ respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro de $\triangle ABC$ tal que $\overline{TE}\parallel\overline{CD}$ y $\overline{TF}\parallel\overline{AD}.$ Sea $K\ne D$ un punto del segmento $DF$ que satisface $TD=TK.$ Demuestre que las rectas $AC,DT,$ y $BK$ son concurrentes.

3 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales y $n$ un entero positivo. Muestre que existe un polinomio $Q$ con coeficientes reales tal que $$(1+x+x^2)^n\mid P(x)^2+P(x)Q(x)+Q(x)^2$$

1 Dado un triángulo $ABC$ y tres circunferencias $x$ , $y$ y $z$ tales que $A \in y \cap z$ , $B \in z \cap x$ y $C \in x \cap y$ . La circunferencia $x$ corta a la recta $AC$ en los puntos $X_b$ y $C$ , y corta a la recta $AB$ en los puntos $X_c$ y $B$ . La circunferencia $y$ corta a la recta $BA$ en los puntos $Y_c$ y $A$ , y corta a la recta $BC$ en los puntos $Y_a$ y $C$ . La circunferencia $z$ corta a la recta $CB$ en los puntos $Z_a$ y $B$ , y corta a la recta $CA$ en los puntos $Z_b$ y $A$ . (Sí, estas definiciones tienen las simetrías que cabría esperar.) Demuestre que las mediatrices de los segmentos $Y_a Z_a$ , $Z_b X_b$ y $X_c Y_c$ son concurrentes. darij