9 Considere $n\geq 6$ puntos $x_1,x_2,\dots,x_n$ en el plano tales que no haya tres de ellos colineales. Llamamos a un grafo con vértices $x_1,x_2,\dots,x_n$ una "red vial" si es conexo, cada arista es un segmento de recta y no hay dos aristas que se intersequen entre sí en puntos distintos de los vértices. Demuestre que existen tres redes viales $G_1,G_2,G_3$ tales que $G_i$ y $G_j$ no tienen ninguna arista en común para $1\leq i,j\leq 3$ . Propuesto por Morteza Saghafian

10 Llamamos bueno a un conjunto infinito $S\subseteq\mathbb{N}$ si para todos los enteros $a,b,c\in S$ distintos por pares, todos los divisores positivos de $\frac{a^c-b^c}{a-b}$ están en $S$ . Para todo entero positivo $n>1$ , demuestre que existe un conjunto bueno $S$ tal que $n \not \in S$ . Propuesto por Seyed Reza Hosseini Dolatabadi

11 Considere una tabla con $n$ filas y $2n$ columnas. Ponemos algunos bloques en algunas de las celdas. Después de poner los bloques en la tabla, colocamos un robot en una celda y este comienza a moverse en una de las direcciones derecha, izquierda, abajo o arriba. Solo puede cambiar de dirección cuando llega a un bloque o a un borde. Halle el menor número $m$ tal que podamos poner $m$ bloques en la tabla y elegir un punto de partida para el robot de modo que pueda visitar todas las celdas no bloqueadas. (El robot no puede entrar en las celdas bloqueadas.) Propuesto por Seyed Mohammad Seyedjavadi y Alireza Tavakoli

12 Suponga que $A$ es el conjunto de todos los intervalos cerrados $[a,b] \subset \mathbb{R}$ . Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow A$ tales que $\bullet$ $x \in f(y) \Leftrightarrow y \in f(x)$ $\bullet$ $|x-y|>2 \Leftrightarrow f(x) \cap f(y)=\varnothing$ $\bullet$ Para todos los números reales $0\leq r\leq 1$ , $f(r)=[r^2-1,r^2+1]$ Propuesto por Matin Yousefi

1 En el triángulo acutángulo escaleno $ABC$ , la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ corta a $BC$ en el punto $X$ . Las rectas $l_b$ y $l_c$ son las tangentes en $B$ y $C$ con respecto a $(ABC)$ . La recta que pasa por $X$ interseca a $l_b$ y $l_c$ en los puntos $Y$ y $Z$ , respectivamente. Suponga que $(AYB)\cap(AZC)=N$ y $l_b\cap l_c=D$ . Demuestre que $ND$ es la bisectriz del ángulo $\angle YNZ$ . Propuesto por Alireza Haghi

2 En el grafo simple y conexo $G$ , sea $x_i$ el número de vértices de grado $i$ . Sea $d>3$ el mayor grado en el grafo $G$ . Demuestre que si: $$x_d \ge x_{d-1} + 2x_{d-2}+... +(d-1)x_1$$ entonces existe un vértice de grado $d$ tal que, después de eliminar ese vértice, el grafo $G$ sigue siendo conexo. Propuesto por Ali Mirzaie Mr.C

1 Dados $12$ números complejos $z_1,...,z_{12}$ tales que para cada $1 \leq i \leq 12$ : $$|z_i|=2 , |z_i - z_{i+1}| \geq 1$$ demuestre que : $$\sum_{1 \leq i \leq 12} \frac{1}{|z_i\overline{z_{i+1}}+1|^2} \geq \frac{1}{2}$$

3 Existen $4$ enteros positivos $a,b,c,d$ tales que $abcd \neq 1$ y cada par de ellos tiene MCD $1$ . Dos funciones $f,g : \mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}$ son funciones multiplicativas tales que para cada entero positivo $n$ tenemos: $$f(an+b)=g(cn+d)$$ Demuestre que se cumple al menos una de las siguientes afirmaciones. $i)$ para cada entero positivo $n$ tenemos $f(an+b)=g(cn+d)=0$ $ii)$ Existe un entero positivo $k$ tal que para todo $n$ con $(n,k)=1$ tenemos $g(n)=f(n)=1$ (La función $f$ es multiplicativa si para cualesquiera números naturales $a,b$ tenemos $f(ab)=f(a)f(b)$ ) Propuesto por Navid Safaii Mr.C

4 Suponga que $\Omega(n),\omega(n)$ son el mayor y el menor factor primo de $n$ , respectivamente. Alireza y Amin decidieron jugar un juego. Primero Alireza elige $1400$ polinomios con coeficientes enteros. Luego Amin elige $700$ de ellos; los conjuntos de polinomios de Alireza y de Amin son $B,A$ , respectivamente. Amin gana si para todo $n$ tenemos: $$\max_{P \in A}(\Omega(P(n))) \ge \min_{P \in B}(\omega(P(n)))$$ ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Propuesto por Alireza Haghi Mr.C

5 Llamamos Bonita a una terna de números si uno de ellos es el promedio de los otros dos. Suponga que tenemos $2k+1$ números reales distintos con $k^2$ ternas Bonitas. Demuestre que estos números pueden dividirse en dos progresiones aritméticas con iguales razones. Propuesto por Morteza Saghafian Mr.C