3 Sea $A$ una matriz $m\times n$ cualquiera cuyas entradas son enteros positivos. Un paso consiste en transformar la matriz ya sea multiplicando cada entrada de una $row$ por $2$ o restando $1$ a cada entrada de una $column$ . ¿Puede transformar $A$ en la matriz cero en una cantidad finita de pasos? Justifique su respuesta.

2 Sobre la parábola $y=x^2$ , se selecciona recursivamente una sucesión de puntos $P_n(x_n,y_n)$ , donde los puntos $P_1,P_2$ son puntos distintos elegidos arbitrariamente. Una vez seleccionado $P_n$ , las tangentes trazadas en $P_{n-1}$ y $P_n$ se cortan en, digamos, $Q_n$ . Suponga que $P_{n+1}$ es el punto de intersección de $y=x^2$ con la recta que pasa por $Q_n$ paralela al eje $Y$ . ¿Bajo qué condiciones sobre $P_1,P_2$ (a) convergen ambas sucesiones $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ ? (b) $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ convergen ambas a $0$ ?

3 (a) Muestre que no existe un número de $3$ - dígitos $A$ tal que $10^3A+A$ sea un cuadrado perfecto. (b) Muestre que existe un número de $n$ - dígitos $(n>3)$ $A$ tal que $10^nA+A$ es un cuadrado perfecto.

1–10 1. El número $\sqrt{2}e^{i\pi}$ es: $\textbf{A)}$ un número racional. $\textbf{B)}$ un número irracional. $\textbf{C)}$ un número imaginario puro. $\textbf{D)}$ un número complejo del tipo $a + ib$ donde $a, b$ son números reales no nulos. 2. Sea $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . El rango de $P^4$ es: $\textbf{A)}\; 1 \quad \textbf{B)}\; 2 \quad \textbf{C)}\; 3 \quad \textbf{D)}\; 4.$ 3. Sean $y_1(x)$ y $y_2(x)$ las soluciones de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} = y + 17$ con condiciones iniciales $y_1(0) = 0, y_2(0) = 1$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? $\textbf{A)}\; y_1$ y $y_2$ nunca se intersecan. $\textbf{B)}\; y_1$ y $y_2$ se intersecan en $x = e$ . $\textbf{C)}\; y_1$ y $y_2$ se intersecan en $x = 17$ . $\textbf{D)}\; y_1$ y $y_2$ se intersecan en $x = 1$ . 4. Suponga que $f$ y $g$ son funciones diferenciables y $h(x) = f(x)g(x)$ . Sean $h(1) = 24$ , $g(1) = 6$ , $f'(1) = -2$ , $h'(1) = 20$ . Entonces el valor de $g'(1)$ es $\textbf{A)}\; 8 \quad \textbf{B)}\; 4 \quad \textbf{C)}\; 2 \quad \textbf{D)}\; 16.$ 5. ¿En cuántas regiones queda dividido el plano al graficar las siguientes ecuaciones, sin considerar los ejes? $y = x^2, \quad y = 2^x$ $\textbf{A)}\; 3 \quad \textbf{B)}\; 4 \quad \textbf{C)}\; 5 \quad \textbf{D)}\; 6.$ 6. Para $0 \le x < 2\pi$ , el número de soluciones de la ecuación $\sin^2 x + 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$ es $\textbf{A)}\; 1 \quad \textbf{B)}\; 2 \quad \textbf{C)}\; 3 \quad \textbf{D)}\; 4.$ 7. El valor mínimo de la función $f(x) = x^x, \quad x \in (0, \infty)$ es $\textbf{A)}\; \left(\dfrac{1}{10}\right)^{\frac{1}{10}} \quad \textbf{B)}\; 10^{\frac{1}{10}} \quad \textbf{C)}\; \dfrac{1}{e} \quad \textbf{D)}\; \left(\dfrac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}.$ 8. Sea $f$ una función dos veces diferenciable en $\mathbb{R}$ . Además $f''(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? $\textbf{A)}\; f(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones en $\mathbb{R}$ . $\textbf{B)}\; f(x) = 0$ tiene una solución positiva si $f(0) = 0$ y $f'(0) = 0$ . $\textbf{C)}\; f(x) = 0$ no tiene solución positiva si $f(0) = 0$ y $f'(0) > 0$ . $\textbf{D)}\; f(x) = 0$ no tiene solución positiva si $f(0) = 0$ y $f'(0) < 0$ . 9. Si $x^2 + x + 1 = 0$ , entonces el valor de $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 + \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 + \dots + \left(x^{27} + \dfrac{1}{x^{27}}\right)^2$ es $\textbf{A)}\; 27 \quad \textbf{B)}\; 54 \quad \textbf{C)}\; 0 \quad \textbf{D)}\; -27.$ 10. Sea $M = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ . Entonces $M^{2017} = $ $\textbf{A)}\; \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\textbf{B)}\; \begin{pmatrix} -2^{2017} & -1 \\ 3^{2017} & 1 \end{pmatrix}$ $\textbf{C)}\; \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $\textbf{D)}\; \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}.$

5 Considere un número natural $n \ge 3$ . Un polígono convexo con $n$ lados está completamente colocado dentro de un cuadrado de lado 1. Demuestre que siempre podemos encontrar tres vértices de este polígono, el triángulo formado por los cuales tiene área no mayor que $\frac{8}{n^2}$ .

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB =\angle ABC =\angle BCD > 90^o$ . La circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ interseca los lados $AD$ y $CD$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente, distintos de cualquier vértice del cuadrilátero $ABCD$ . Los segmentos $AL$ y $CK$ se intersecan en el punto $P$ . Demuestre que $\angle ADB =\angle PDC$ .

2 Sean $c_1,c_2,\cdots,c_9$ los ceros del polinomio $z^9-6z^7+12z^6+18z^4-24z^3+30z^2-z+2017$ . Si $S(z)=\sum_{k=1}^9 |z-c_k|^2$ , demuestre que $S(z)$ es constante sobre la circunferencia $|z|=100$ .

4 Llame a un conjunto de enteros no − aislado si para todo a∈A al menos uno de los números $a-1$ y $a+1$ también pertenece a A. Demuestre que el número de subconjuntos no − aislados de 5−elementos de { $1,2, . . . ,n$ } es $(n-4)^2$ .

1 ¿Existen 100 rectas en el plano, sin tres concurrentes, tales que se intersequen exactamente en 2017 puntos?

3 Sea $f$ un polinomio mónico con coeficientes reales. Sean $$\lim_{x\to \infty} f''(x) = \lim_{x \to \infty} f\left(\frac{1}{x}\right)$$ y $f(x)\ge f(1)$ para todo $x\in R$ . Halle $f$