1 Resuelva en enteros positivos la ecuación $1005^x + 2011^y = 1006^z$ .

1 Sea $A_0A_1A_2A_3A_4A_5$ un hexágono convexo inscrito en una circunferencia. Defina los puntos $A_0'$ , $A_2'$ , $A_4'$ sobre la circunferencia, tales que \[ A_0A_0' \parallel A_2A_4, \quad A_2A_2' \parallel A_4A_0, \quad A_4A_4' \parallel A_2A_0 . \] Sean las rectas $A_0'A_3$ y $A_2A_4$ que se intersecan en $A_3'$ , las rectas $A_2'A_5$ y $A_0A_4$ que se intersecan en $A_5'$ y las rectas $A_4'A_1$ y $A_0A_2$ que se intersecan en $A_1'$ . Demuestre que si las rectas $A_0A_3$ , $A_1A_4$ y $A_2A_5$ son concurrentes, entonces las rectas $A_0A_3'$ , $A_4A_1'$ y $A_2A_5'$ también son concurrentes. Valentin

3 Dado un triángulo equilátero $\Delta ABC$ , con $X\in[A,B]$ . Entonces definimos puntos únicos Y,Z tales que $Y\in[B,C]$ , $Z\in[A,C]$ , $\Delta XYZ$ equilátero. Si $Area\left(\Delta ABC\right) = 2 \cdot Area\left(\Delta XYZ\right)$ , halle la razón $\frac{AX}{XB},\frac{BY}{YC},\frac{CZ}{ZA}$ .

15 Sea \( \overline{MN} \) un diámetro de un círculo con diámetro \( 1 \). Sean \( A \) y \( B \) puntos sobre uno de los arcos semicirculares determinados por \( \overline{MN} \) tales que \( A \) es el punto medio del semicírculo y \( MB=\frac35 \). El punto \( C \) se encuentra sobre el otro arco semicircular. Sea \( d \) la longitud del segmento cuyos extremos son las intersecciones del diámetro \( \overline{MN} \) con las cuerdas \( \overline{AC} \) y \( \overline{BC} \). El mayor valor posible de \( d \) se puede escribir en la forma \( r-s\sqrt{t} \), donde \( r \), \( s \) y \( t \) son enteros positivos y \( t \) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \( r+s+t \).

3 Ed y Sue andan en bicicleta a tasas iguales y constantes. De manera similar, corren a tasas iguales y constantes, y nadan a tasas iguales y constantes. Ed recorre $ 74$ kilómetros después de andar en bicicleta durante $ 2$ horas, correr durante $ 3$ horas y nadar durante $ 4$ horas, mientras que Sue recorre $ 91$ kilómetros después de correr durante $ 2$ horas, nadar durante $ 3$ horas y andar en bicicleta durante $ 4$ horas. Sus tasas de andar en bicicleta, correr y nadar son todas números enteros de kilómetros por hora. Encuentra la suma de los cuadrados de las tasas de andar en bicicleta, correr y nadar de Ed. E^(pi*i)=-1

1 En un triángulo acutángulo $ABC$ , supongamos que las longitudes de los lados satisfacen $BC > AB > AC$ . Sea $I$ el incentro del triángulo, y $D$ el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado $BC$ . Sea $G$ el punto de Gergonne del triángulo, y $J$ el conjugado isogonal de $I$ con respecto al triángulo $GBC$ . La recta $IJ$ interseca $AD$ en el punto $X$ . Demuestre que: $AX = 2XD$ . Propuesto por Xiaokun Chen

Determine el menor entero positivo $n$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: Si los enteros positivos $a$ y $b$ son tales que $a + b$ es un múltiplo de $100$ y $ab$ es un múltiplo de $n$ , entonces cada uno de los números $a$ y $b$ es un múltiplo de $100$ .

2 Una caminadora móvil de 100 pies de largo se mueve a una tasa constante de 6 pies por segundo. Al sube al inicio de la caminadora y se queda parado. Bob sube al inicio de la caminadora dos segundos después y camina hacia adelante sobre la caminadora a una tasa constante de 4 pies por segundo. Dos segundos después de eso, Cy llega al inicio de la caminadora y camina rápidamente hacia adelante junto a la caminadora a una tasa constante de 8 pies por segundo. En cierto momento, una de estas tres personas está exactamente a la mitad entre las otras dos. En ese momento, encuentra la distancia en pies entre el inicio de la caminadora y la persona del medio.

Sean $n, a, b$ enteros positivos con $a > b$ , tales que $n^2 + 1 = ab$ . $a)$ Demuestre que $$a - b \geq \sqrt{4n - 3}. \qquad(\star)$$ $b)$ Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales puede darse la igualdad en $(\star)$ .

8 2 jugadores A y B juegan el siguiente juego, comenzando A: En el turno de cada jugador, coloca un número del 1 al 99 entre 99 puntos igualmente espaciados sobre una circunferencia (los números no pueden repetirse), y el jugador que completa 3 números consecutivos que forman una progresión aritmética alrededor de la circunferencia gana el juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Explique su razonamiento.