G3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables dentro de este cuadrilátero tales que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$. Demuestra que las rectas $PQ$ obtenidas de esta manera todas pasan por un punto fijo, o bien son todas paralelas.

1 Se da un entero positivo $c$. La sucesión $\{p_{k}\}$ se construye con la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ que no esté presente entre los números $p_{1}$, $p_{2}$, $\dots$, $p_{k}$. Demuestra que la sucesión $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita. Propuesto por A. Golovanov

2 Halla todas las funciones \(f(x),\) continuas en todo el eje real, tales que para todo \(x\) real \[f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).\] Propuesto por A. Golovanov

3 Los puntos $D$ y $E$ sobre la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ son tales que $AD=AE = BC$. Sea $H$ el punto común de las alturas del triángulo $ABC$. Se sabe que $AH^{2}=BH^{2}+CH^{2}$. Demuestra que $H$ yace sobre el segmento $DE$. Propuesto por D. Shiryaev

Se da un número real $a$. La sucesión $n_{1}< n_{2}< n_{3}< ...$ consiste de todos los enteros positivos $n$ tales que $\{na\}< \frac{1}{10}$. Demuestra que hay a lo más tres números distintos entre los números $n_{2}-n_{1}$, $n_{3}-n_{2}$, $n_{4}-n_{3}$, $\ldots$. Un corolario de un teorema de teoría ergódica.

1 Igual que en Seniors

Los puntos sobre los lados \( BC \), \( CA \) y \( AB \) del triángulo \( ABC \) son respectivamente \( A_1 \), \( B_1 \) y \( C_1 \) tales que \( AC_1: C_1B = BA_1: A_1C = CB_1: B_1A = 2: 1 \). Demuestra que si el triángulo \( A_1B_1C_1 \) es equilátero, entonces el triángulo \( ABC \) también es equilátero.

3 ¿Existe un trinomio cuadrático con coeficientes enteros, tal que todos sus valores que son naturales sean potencias naturales de dos?

4 Igual que en Seniors

5 Demuestra que para todo \( x, y \in [0, 1] \) se cumple la desigualdad \( 5 (x^2+ y^2) ^2 \leq 4 + (x +y) ^4 \).