10.5 Las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ se intersecan en el punto $H$ . Sobre el lado $BC$ se elige un punto $P$ tal que $\angle HPC = \angle BAC$ . Demuestre que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $BHP$ está sobre la recta $AB$ .

10.6 Halle todos los pares $(p,q)$ de números primos que satisfacen la ecuación \[ p^{2q+1} = q^{p} + 2023. \]

10.7 En un $n$ -ágono convexo se trazan varias diagonales de modo que cada diagonal trazada interseca en puntos interiores a lo sumo a otra diagonal. Como resultado, el $n$ -ágono queda dividido en polígonos más pequeños. Determine el número máximo posible de triángulos que pueden aparecer entre ellos.

10.8 En la pizarra están escritos tres polinomios con coeficientes reales: \[ x^4 + a_1 x^3 + b_1 x^2 - 2x + 1, \] \[ x^4 + a_2 x^3 + b_2 x^2 - 2x + 1, \quad \text{and} \quad x^4 + a_3 x^3 + b_3 x^2 - 2x + 1. \] Resulta que \[ a_1 b_2 > a_2 b_1, \quad a_2 b_3 > a_3 b_2, \quad \text{and} \quad a_3 b_1 > a_1 b_3. \] Demuestre que al menos uno de los polinomios escritos en la pizarra tiene una raíz real.

9.7 Los triángulos $ABC$ y $DEF$ están inscritos en una circunferencia $\Omega$ y circunscritos a una circunferencia $\omega$ de modo que la recta $AD$ pasa por el centro de $\omega$ . Demuestre que la recta que pasa por los puntos de tangencia de la circunferencia $\omega$ con los lados $BC$ y $EF$ es paralela a la recta $AD$ .

10.3 En el triángulo $ABC$ , el punto $M$ es el punto medio del lado $AC$ , y $H$ es el punto de intersección de las alturas. La circunferencia de diámetro $BH$ interseca nuevamente en el punto $N$ a la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a la recta $AC$ en el punto $C$ . Demuestre que los puntos $H$ , $M$ y $N$ están sobre una misma recta.

11.2 Sobre el lado $AB$ del triángulo $ABC$ $(AB > BC)$ se elige un punto $E$ tal que $AE = BC$ . Sobre la prolongación del rayo $CE$ más allá del punto $E$ se elige un punto $P$ tal que $\angle APC + \angle ABC = 180^\circ$ . El punto $Q$ está sobre el rayo $AP$ tal que $AQ = CE$ . Demuestre que las rectas $EQ$ y $BC$ son paralelas.

9.6 Halle todos los pares de números naturales $(n,k)$ para los cuales es posible trazar en un círculo $n$ cuerdas azules y $k$ cuerdas blancas de modo que todas las cuerdas azules intersequen cantidades diferentes de cuerdas blancas, y todas las cuerdas blancas intersequen cantidades diferentes de cuerdas azules.

9.8 Un conjunto no vacío $S$ de números naturales se llama especial si para cualquier elemento $a$ el conjunto $S$ contiene números distintos $b$ y $c$ , diferentes de $a$ , tales que $a = 2023 \cdot \gcd(b,c) + 1$ . ¿Existe un conjunto especial cuyo número de elementos sea a) finito; b) infinito?

10.2 Los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación \[ x\sqrt{y^2 + 1} + y\sqrt{x^2 + 1} = \frac{3}{4}. \] Halle todos los valores posibles de la expresión \[ \sqrt{x^2 + 1}\cdot\sqrt{y^2 + 1} + xy. \]