8 Cuadrilátero $ABCD$ con diagonales perpendiculares está inscrito en una circunferencia con centro $O$. Las tangentes a esta circunferencia en $A$ y $C$ junto con la recta $BD$ forman el triángulo $\Delta$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de $BOD$ y $\Delta$ son tangentes. Información adicional para la Liga Junior: Muestra que este punto pertenece a $\omega$, la circunferencia circunscrita de $OAC$. Propuesto por A. Kuznetsov

1 ¿Existen tres trinomios cuadráticos distintos $f(x), g(x), h(x)$ tales que las raíces de la ecuación $f(x)=g(x)$ sean $1$ y $4$, las raíces de la ecuación $g(x)=h(x)$ sean $2$ y $5$, y las raíces de la ecuación $h(x)=f(x)$ sean $3$ y $6$? Propuesto por A. Golovanov

3 Un punto $P$ en el lado $AB$ de un triángulo $ABC$ y puntos $S$ y $T$ en los lados $AC$ y $BC$ son tales que $AP=AS$ y $BP=BT$. La circunferencia circunscrita de $PST$ corta de nuevo a los lados $AB$ y $BC$ en $Q$ y $R$, respectivamente. Las rectas $PS$ y $QR$ se cortan en $L$. Demuestra que la recta $CL$ biseca al segmento $PQ$. Propuesto por A. Antropov

4 igual que los juniors

Se dan un primo $p$ y un entero positivo $n$. El producto $$(1^3+1)(2^3+1)...((n-1)^3+1)(n^3+1)$$ es divisible por $p^3$. Demuestra que $p \leq n+1$. Propuesto por Z. Luria

6 igual que los juniors

7 Una escuela tiene tres clases superiores de $M$ estudiantes cada una. Cada estudiante conoce al menos a $\frac{3}{4}M$ personas en cada una de las otras dos clases. Demuestra que la escuela puede enviar $M$ equipos no intersectantes a la olimpiada, de modo que cada equipo consista de $3$ estudiantes de clases diferentes que se conozcan entre sí. Propuesto por C. Magyar, R. Martin

8 igual que los juniors

1 Demuestra que el área del círculo inscrito en un hexágono regular es mayor que el \(90\%\) del área del hexágono.

Un número entero no negativo $n$ se dice *squaredigital* si es igual al cuadrado de la suma de sus dígitos. Encuentra todos los enteros no negativos que son squaredigitales.