1 Dado un número entero positivo $n$ , determine el mínimo de \[\max \left\{\dfrac{x_1}{1 + x_1},\, \dfrac{x_2}{1 + x_1 + x_2},\, \cdots,\, \dfrac{x_n}{1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n}\right\},\] cuando $x_1, x_2, \ldots, x_n$ recorren todos los números reales no negativos que suman $1$ . Kvant Magazine

3 Dado un entero positivo $a$ , demuestre que $\sigma(am) < \sigma(am + 1)$ para infinitos enteros positivos $m$ . (Aquí $\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores positivos del número entero positivo $n$ . ) Vlad Matei

4 Sea $n$ un número entero mayor o igual que $2$ , y sea $K$ un conjunto convexo cerrado de área mayor o igual que $n$ , contenido en el cuadrado abierto $(0, n) \times (0, n)$ . Demuestre que $K$ contiene algún punto del retículo entero $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . Marius Cavachi

4 Sean $X$ e $Y$ dos subconjuntos finitos del intervalo semicerrado $[0, 1)$ tales que $0 \in X \cap Y$ y $x + y = 1$ para ningún $x \in X$ y ningún $y \in Y$ . Demuestre que el conjunto $\{x + y - \lfloor x + y \rfloor : x \in X \textrm{ and } y \in Y\}$ tiene al menos $|X| + |Y| - 1$ elementos. ***

3 Sean $\gamma_1$ y $\gamma_2$ dos circunferencias tangentes en el punto $T$ , y sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas que pasan por $T$ . Las rectas $\ell_1$ y $\ell_2$ cortan de nuevo a $\gamma_1$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente, y a $\gamma_2$ en los puntos $A_1$ y $B_1$ , respectivamente. Sea además $X$ un punto del complemento de $\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \ell_1 \cup \ell_2$ . Las circunferencias $ATX$ y $BTX$ cortan de nuevo a $\gamma_2$ en los puntos $A_2$ y $B_2$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $TX$ , $A_1B_2$ y $A_2B_1$ son concurrentes. ***

3 Sea $\mathcal{L}$ una colección finita de rectas en el plano en posición general (no hay dos rectas en $\mathcal{L}$ paralelas ni tres concurrentes). Considere los discos circulares abiertos inscritos en los triángulos encerrados por cada terna de rectas de $\mathcal{L}$ . Determine el número de tales discos que no son intersecados por ninguna recta de $\mathcal{L}$ , en términos de $|\mathcal{L}|$ . B. Aronov et al.

1 Cada punto del plano está coloreado con uno de dos colores. Dado un número entero impar $n \geq 3$ , demuestre que existen (al menos) dos triángulos semejantes cuya razón de semejanza es $n$ , cada uno de los cuales tiene un conjunto de vértices monocromático. Vasile Pop

2 Sea $\ell$ una recta, y sean $\gamma$ y $\gamma'$ dos circunferencias. La recta $\ell$ corta a $\gamma$ en los puntos $A$ y $B$ , y a $\gamma'$ en los puntos $A'$ y $B'$ . Las tangentes a $\gamma$ en $A$ y $B$ se cortan en el punto $C$ , y las tangentes a $\gamma'$ en $A'$ y $B'$ se cortan en el punto $C'$ . Las rectas $\ell$ y $CC'$ se cortan en el punto $P$ . Sea $\lambda$ una recta variable que pasa por $P$ y sea $X$ uno de los puntos donde $\lambda$ corta a $\gamma$ , y $X'$ uno de los puntos donde $\lambda$ corta a $\gamma'$ . Demuestre que el punto de intersección de las rectas $CX$ y $C'X'$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Gazeta Matematica

3 Sea $p$ un número primo, sean $n_1, n_2, \ldots, n_p$ números enteros positivos, y sea $d$ el máximo común divisor de los números $n_1, n_2, \ldots, n_p$ . Demuestre que el polinomio \[\dfrac{X^{n_1} + X^{n_2} + \cdots + X^{n_p} - p}{X^d - 1}\] es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ . Beniamin Bogosel

1 Un polinomio no constante $f$ con coeficientes enteros tiene la propiedad de que, para cada primo $p$ , existen un primo $q$ y un entero positivo $m$ tales que $f(p) = q^m$ . Demuestre que $f = X^n$ para algún entero positivo $n$ . AMM Magazine