12 Halle todos los números primos $ p,q,r$ tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$

11 Determine el mayor número con $n$ cifras en su representación decimal que sea divisible por $429$ y cuya suma de todas sus cifras sea menor o igual que $11$ .

10 Demuestre que $2^n + 3^n$ no es un cubo perfecto para ningún entero positivo $n$ .

. Halle la suma de los coeficientes del polinomio $f(x)$ si $f(x)=(x^{3}-4x^{2}+4)^{2004}(2x-3)^{2005}$ . P2. En un cuadrilátero $ABCD$ con $AB$ no paralelo a $CD$ , sea $E$ el punto medio de $AB$ y $F$ el punto medio de $CD$ . Demuestre que los puntos medios de los segmentos $AF$ , $CE$ , $BF$ y $DE$ son los vértices de un paralelogramo. P3. Dados $n+1$ números naturales distintos, todos menores que $2n$ , demuestre que siempre se pueden elegir dos cuya razón sea una potencia de $2$ .

9 Sea $p$ un número primo. Halle todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que: $\frac{4a + p}{b}+\frac{4b + p}{a}$ y $ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$ sean enteros.

8 Sean $a, b, c, d, e, f$ cifras no nulas tales que los números naturales $\overline{abc}, \overline{def}$ y $\overline{abcdef }$ son cuadrados. a) Demuestre que $\overline{abcdef}$ puede representarse de dos maneras diferentes como suma de tres cuadrados de números naturales. b) Dé un ejemplo de tal número.

7 Determine el valor mínimo del primo $p> 3$ para el cual no existe ningún número natural $n> 0$ tal que $2^n+3^n\equiv 0\pmod{p} $ .

7 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ . El punto $D$ está sobre el lado $AB$ de modo que la semicircunferencia con diámetro $BD$ y centro $O$ es tangente al lado $AC$ en el punto $P$ e interseca al lado $BC$ en el punto $Q$ . El radio $OP$ interseca a la cuerda $DQ$ en el punto $E$ de modo que $5 \cdot PE = 3 \cdot DE$ . Halle la razón $\frac{AB}{BC}$ .

5 ¿Es posible ordenar los números $1^1, 2^2,..., 2008^{2008}$ uno después del otro, de manera que el número obtenido sea un cuadrado perfecto? (Explique su respuesta.)

7 Sea \(S(n)\) la suma de los dígitos de la representación en base 10 de un número natural \(n\) . Por ejemplo, \(S(2017) = 2+0+1+7 = 10\) . Demuestre que para todo primo \(p\) , existen infinitos \(n\) que satisfacen \(S(n) \equiv n \mod p\) .