5 En una competencia deportiva, hay equipos de dos países diferentes, con $5$ equipos en cada país. Cada equipo juega contra dos equipos de cada país, incluido aquel al que pertenece, un juego en casa y uno de visitante. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir los partidos en esta competencia?

1 Un número se llama cool si la suma de sus dígitos es múltiplo de $17$ y la suma de los dígitos de su sucesor es múltiplo de $17$ . ¿Cuál es el menor número cool?

3 En un triángulo escaleno $ABC$ se trazó la bisectriz $AK$ . El diámetro $XY$ de su circunferencia circunscrita es perpendicular a $AK$ (el orden de los puntos en la circunferencia circunscrita es $B-X-A-Y-C$ ) . Una circunferencia que pasa por los puntos $X$ y $Y$ interseca los segmentos $BK$ y $CK$ en los puntos $T$ y $Z$ respectivamente. Demuestre que si $KZ=KT$ , entonces $XT \perp YZ$ .

4 Dado un número $a$ de $101$ dígitos y un entero positivo arbitrario $b$ . Demuestre que hay a lo sumo un entero positivo $c$ de $102$ dígitos tal que todo número de la forma $\overline{caaa \dots ab}$ sea compuesto.

5 Hay $100$ puntos en posición general marcados en el plano (es decir, no hay tres sobre la misma recta). Demuestre que es posible seleccionar tres puntos marcados $A, B, C$ de modo que para cualquier punto $D$ de los $97$ puntos marcados restantes, las rectas $AD$ y $CD$ no contengan puntos que estén dentro del triángulo $ABC$ .

6 Alexandre y Bernado están jugando el siguiente juego. Al principio, hay $n$ bolas en una bolsa. En el primer turno, Alexandre puede tomar una bola de la bolsa; en el segundo turno, Bernado puede tomar una o dos bolas de la bolsa, y así sucesivamente. Así, se turnan y en el $k$ -ésimo turno pueden tomar un número de bolas de $1$ a $k$ . Gana quien vacía la bolsa. Para cada valor de $n$ , determine quién tiene la estrategia ganadora.

2 Se dan $32$ monedas reales y $32$ monedas falsas de la misma apariencia. Todas las monedas falsas pesan igual y menos que las reales, que también pesan todas lo mismo. ¿Cómo determinar el tipo de al menos siete monedas en seis pesajes en una balanza con dos platillos?

6 Se da un hexágono inscrito $AB_1CA_1BC_1$ . La circunferencia $\omega$ está inscrita en ambos triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ y toca los segmentos $AB$ y $A_1B_1$ en los puntos $D$ y $D_1$ respectivamente. Demuestre que si $\angle ACD = \angle BCD_1$ , entonces $\angle A_1C_1D_1 = \angle B_1C_1D$ .

3 En el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ se eligió el punto $P$ . El punto $E$ es simétrico al punto $B$ respecto a la recta $AP$ . El segmento $PE$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ en el punto $D$ . $M$ es el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que $DE+AC>2BM$ .

5 $2 \ 000 \ 000$ puntos con coordenadas enteras están marcados en el eje numérico. Se consideran segmentos de longitudes $97$ , $100$ y $103$ con extremos en estos puntos. ¿Cuál es el mayor número de tales segmentos?