3 Desde un punto $A$ que no está en la recta $\varepsilon$, trazamos la perpendicular $AB$ a $\varepsilon$ y otras tres rectas no perpendiculares $AC$, $AD$, $AE $ que se encuentran en el mismo semiplano definido por $AB$, tales que $(AD )>\frac{1}{2}((AC)+(AE))$. Demuestre que $(CD )>(DE).$. (Los puntos $B,C,D,,E$ se encuentran en la recta $\varepsilon$).

4 Para todo número real $x$, denotamos con $[x]$ la parte entera de $x$ y con $\{x\}$ la parte fraccionaria de $x$, de modo que $x=[x]+\{x\}$. a) Halle al menos un número real $x$ tal que $\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1$. b) Halle todos los racionales $x$ tales que $\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1$.

4 Resuelva $2|3-2x|-|x-2|=x$, $x\in\mathbb{R}$.

1 Sean $a,b,c,d x,y,z, w$ números reales tales que $$\begin{matrix} ax -by-c z-dw =0\\ b x +a y -d z +cw=0\\ c x+ d y +a z -b w=0\\ dx-c y+bz+aw=0 \end{matrix}$$. Demuestre que $$a=b=c=d=0, \ \ or \ \ x=y=z=w=0$$

1 Considere dos funciones $f , \,g \,:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para algún $a>0$ se cumple $g(x)=f(x+a)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Si $f$ es par y $g$ es impar, demuestre que ambas funciones son periódicas.

2 Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $C(O,R)$. Sea $M$ un punto en el arco $BC$. Sean $D,E,Z$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $M$ sobre las rectas $AB,AC,BC$ respectivamente. Demuestre que $\frac{(BC)^2}{(MZ)^2} \ge 8\frac{R U_a}{(MD)\cdot(ME)}$, donde $U_a$ es la altura trazada sobre $BC$.

4 Sea $A\subseteq \mathbb{R}$ tal que: i) Si $a,b\in A$ entonces $\sqrt{ab} \in A$ ii) $1\in A$ y $2\in A$. Demuestre que $\sqrt[\displaystyle 2^{1453}]{2^{1821}}\in A$.

1 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen: $$2f(x+y+xy)= a f(x)+ bf(y)+f(xy)$$ para cualesquiera $x,y \in\mathbb{R}$, donde $a,b\in\mathbb{R}$ con $a^2-a\ne b^2-b$

2 Dado un $1987$-ágono regular en el plano con vértices $A_1, A_2,..., A_{1987}$. Halle el lugar geométrico de los puntos M del plano tales que $$\left|\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+...+\overrightarrow{MA_{1987}}\right| \le 1987$$.

3 Sea $A$ una matriz $n \times n$ de números reales tal que $A^2+\mathbb{I}=A$, donde $\mathbb{I}$ es la matriz identidad $n \times n$. Demuestre que la matriz $A^{3n}$, donde $\nu\in\mathbb{Z}$, toma solamente dos valores, y halle esos valores.