2 Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ , se elige arbitrariamente un punto $P$ . Los pies de las perpendiculares trazadas desde $P$ a los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ se denominan $ X$ , $Y$ , $Z$ en ese orden. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos $BXP$ , $CYP$ , $AZP$ no depende de la elección del punto $P.$

2 Sean $a$ y $b$ números reales positivos menores que $1$ . Demuestre que los dos enunciados siguientes son equivalentes: (i) $a+b = 1$ , (ii) Siempre que $x,y$ sean números reales positivos tales que $x < 1, y < 1, ax+by < 1$ , se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{1}{1-ax-by} \le \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-y}$$

6a Demuestre el siguiente enunciado: Si un polinomio $p(x) = x^3 + Ax^2 + Bx +C$ tiene tres raíces reales positivas de las cuales al menos dos son distintas, entonces $A^2 +B^2 +18C > 0$ .

4 Dado el triángulo $ABC$ y dos puntos $D$ y $E$ , suponga lo siguiente: $D$ se encuentra sobre el segmento $BC$ y es distinto de $C$ , $E$ se encuentra sobre el segmento $AC$ y es distinto de $C$ . El segmento $DE$ pasa por el incentro $M$ del triángulo $ABC$ . Sea el inradio del triángulo $ABC$ igual a $r$ , y sea el área del triángulo $CDE$ igual a $F$ . Demuestre que bajo estas condiciones, $F \ge 2r^2$ se cumple siempre.

1 Demuestre que si para un número real no nulo $x$ , el número $x + \frac{1}{x}$ es un entero, entonces para este $x$ y para todo entero positivo $n$ , $x^n + \frac{1}{x^n}$ es también un entero.

6B Dos personas, $P$ y $Q$ , juegan el siguiente juego: En la ecuación $x^3+ ax^2 + bx + c = 0$ , $P$ asigna primero un número real a uno de los tres coeficientes $a, b, c$ que aún no ha sido asignado. P gana el juego si y solo si la ecuación resultante tiene tres soluciones reales distintas dos a dos. Investigue si $P$ puede forzar una victoria sin importar cómo juegue $Q$ .

6A Dados enteros positivos $a$ y $b$ , sea $(x_n)_{n=0,1,2,...}$ la sucesión de números definida por $$x_0 = 1, \,\,\, x_{n+1} = ax_n + b \,\,\, (n = 0, 1, 2, ...).$$ Demuestre que para cualquier elección de $a$ y $b$ , la sucesión así formada contiene infinitos números que no son primos.

5 Halle todos los pares $(x, y)$ de enteros no negativos $x, y$ para los cuales $$x^3+ 8x^2 - 6x + 8 = y^3$$

2 Para $n = 1, 2, 3, ...$ sea $$s_n =\sum^n_{k=1} \frac{1}{k}= 1 +\frac12+ \frac13 + ... + \frac{1}{n}$$ $$t_n =\sum^n_{k=1} \frac{1}{k \cdot s^2_k}= 1+\frac{1}{1 \cdot s^2_1} +...+\frac{1}{2 \cdot s^2_2}+ ... + +\frac{1}{n \cdot s^2_n}$$ Demuestre la desigualdad $t_n < 2$ para todo $n = 1, 2, 3, ....$

3 Sea $ABCDS$ una pirámide recta de base cuadrada ABCD con vértice $S$ . Además, sean $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ cuatro puntos situados sobre las aristas laterales $AS$ , $BS$ , $CS$ y $DS$ , respectivamente, y que tienen distancias arbitrariamente dadas (no nulas) $a, b, c$ y $d$ desde $S$ . Demuestre que bajo estas condiciones siempre se cumple lo siguiente: Los puntos $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ se encuentran en un mismo plano si y solo si: $$\frac{1}{a} +\frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}$$