1 El polinomio $ P(x)=x^3+ax^2+bx+d$ tiene tres raíces reales distintas. El polinomio $ P(Q(x))$ , donde $ Q(x)=x^2+x+2001$ , no tiene raíces reales. Demuestre que $ P(2001)>\frac{1}{64}$ .

4 Para un entero positivo dado \(n >2\) , sean \(C_{1},C_{2},C_{3}\) los bordes de tres \(n-\)ágonos convexos en el plano, tales que \(C_{1}\cap C_{2}, C_{2}\cap C_{3},C_{1}\cap C_{3}\) son finitos. Encuentra el número máximo de puntos de los conjuntos \(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}\) .

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AC\ne BC$ . Sean $I$ y $U$ el incentro y el circuncentro del triángulo $ABC$ , respectivamente. La circunferencia inscrita toca a $BC$ y $AC$ en los puntos $D$ y E, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CDE$ se intersecan en los dos puntos $C$ y $P$ . Demuestre que el punto común $S$ de las rectas $CU$ y $P I$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . (Karl Czakler)

1 Determina todos los pares de números naturales $a$ y $b$ tales que $\frac{a+1}{b}$ y $\frac{b+1}{a}$ son números naturales.

Escribe un entero positivo en cada casilla de modo que: Los seis números sean todos distintos. La suma de los seis números sea $100$ . Si cada número se multiplica por su vecino (en sentido horario) y se suman los seis resultados de esas seis multiplicaciones, se obtiene el menor valor posible. Explica por qué no se puede obtener un valor menor.

4 Demuestra que si $x$ , $y$ , $z$ son números reales positivos y $xyz = 1$ entonces \[\frac{x^3}{x^2+y}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+x}\geq \dfrac {3} {2}.\] A. Golovanov

1 Sean $x_1$ , $x_2$ , $\cdots$ , $x_n$ números reales positivos, y sea \[ S = x_1 + x_2 + \cdots + x_n. \] Demuestra que \[ (1 + x_1)(1 + x_2) \cdots (1 + x_n) \leq 1 + S + \frac{S^2}{2!} + \frac{S^3}{3!} + \cdots + \frac{S^n}{n!} \]

7 Un tetraedro $ABCD$ tiene todas sus aristas de longitud menor que $100$ , y contiene dos esferas disjuntas de diámetro $1$ . Demuestre que contiene una esfera de diámetro $1.01$ .

2 Demuestra que la ecuación \[ 6(6a^2 + 3b^2 + c^2) = 5n^2 \] no tiene soluciones en enteros salvo $a = b = c = n = 0$ .

3 Sean $A_1$, $A_2$, $A_3$ tres puntos en el plano y, por conveniencia, sean $A_4 = A_1$, $A_5 = A_2$. Para $n = 1$, $2$ y $3$, supón que $B_n$ es el punto medio de $A_n A_{n+1}$, y supón que $C_n$ es el punto medio de $A_n B_n$. Supón que $A_n C_{n+1}$ y $B_n A_{n+2}$ se intersectan en $D_n$, y que $A_n B_{n+1}$ y $C_n A_{n+2}$ se intersectan en $E_n$. Calcula la razón del área del triángulo $D_1 D_2 D_3$ al área del triángulo $E_1 E_2 E_3$.