5 Resuelve la ecuación $\sqrt{1981-\sqrt{1996+x}}=x+15$

4 Dado un segmento de longitud $7\sqrt3$ . ¿Es posible usar solo el compás para construir un segmento de longitud $\sqrt7$ ?

1 Demuestra la desigualdad $x_1y_1+x_2y_2+x_2y_1+2x_2y_2\le 1996$ si $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2\le 998$ y $y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2\le 3992$ .

3 Nueve puntos del plano, ubicados en los vértices de un nonágono regular, están conectados por pares mediante segmentos, cada uno de los cuales está coloreado de rojo o azul. Se sabe que en cualquier triángulo con vértices en los vértices del nonágono al menos un lado es rojo. Demuestra que existen cuatro puntos tales que cualesquiera dos de ellos están conectados por líneas rojas.

Dado un triángulo acutángulo \(PA_1B_1\) inscrito en la circunferencia \(\Gamma\) de radio \(1\). Para todo entero \(n \ge 1\) se definen: \(C_n\) el pie de la perpendicular desde \(P\) a \(A_nB_n\), \(O_n\) es el centro de \(\odot (PA_nB_n)\), \(A_{n+1}\) es el pie de la perpendicular desde \(C_n\) a \(PA_n\), \(B_{n+1} \equiv PB_n \cap O_nA_{n+1}\). Si \(PC_1 =\sqrt{2}\), halla la longitud de \(PO_{2015}\). Fuente: Cono Sur Olympiad - 2015 - Día 1 - Problema 3

Dado un tetraedro \(ABCD\), en el cual \(AB=CD=13\), \(AC=BD=14\) y \(AD=BC=15\). Demuestra que los centros de la esfera inscrita y de la esfera circunscrita coinciden, y encuentra los radios de estas esferas.

2 Sobre una recta, hay $n$ intervalos cerrados (ninguno de los cuales es un punto) cuya unión denotamos por $S$. Se sabe que para todo número real $d$, $0<d\le 1$, hay dos puntos en $S$ que están a una distancia $d$ entre sí. (a) Muestra que la suma de las longitudes de los $n$ intervalos cerrados es mayor que $\frac{1}{n}$. (b) Demuestra que, para cada entero positivo $n$, el $\frac{1}{n}$ en el enunciado de la parte (a) no puede reemplazarse por un número mayor.

1 1- Encuentra un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que $K = |2^m-3^n|$ en todos estos casos: $a) K=5$ $b) K=11$ $c) K=19$ 2- ¿Existe un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que: $$|2^m-3^n| = 2017$$ 3- Todo número primo menor que $41$ puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ tomando un par apropiado $(m,n)$ de enteros positivos. Demuestra que el número $41$ no puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos 4- Nota que $2^5+3^2=41$. El número $53$ es el menor número primo que no puede representarse como una suma o una diferencia de una potencia de $2$ y una potencia de $3$. Demuestra que el número $53$ no puede representarse en ninguna de las formas $2^m-3^n$, $3^n-2^m$, $2^m-3^n$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos

2 Un país consta de las islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$. El ministerio de transporte decidió construir algunos puentes de modo que cualquiera pueda viajar en auto desde cualquiera de las islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$ a cualquier otra isla mediante uno o más de estos puentes. Por razones técnicas, los únicos puentes que se pueden construir son entre $A_i$ y $A_{i+1}$ donde $i = 1,2,\cdots,N-1$, y entre $A_i$ y $A_N$ donde $i<N$. Decimos que un plan para construir algunos puentes es bueno si satisface las condiciones anteriores, pero al quitar cualquier puente deja de satisfacerlas. Suponemos que hay $a_N$ planes buenos. Observa que $a_1 = 1$ (el único plan bueno es no construir ningún puente), y $a_2 = 1$ (construimos un puente). 1- Demuestra que $a_3 = 3$ 2- Dibuja al menos $5$ planes buenos distintos en el caso de que $N=4$ y las islas sean los vértices de un cuadrado 3- Calcula $a_4$ 4- Calcula $a_6$ 5- Demuestra que existe un entero positivo $i$ tal que $1438$ divide a $a_i$

3 Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias distintas, y sean sus radios $r_1$ y $r_2$; las dos circunferencias pasan por los puntos $A$ y $B$. (i) Sean $P_1$ en $C_1$ y $P_2$ en $C_2$ tales que la recta $P_1P_2$ pasa por $A$. Demuestra que $P_1B \cdot r_2 = P_2B \cdot r_1$. (ii) Sea $DEF$ un triángulo inscrito en $C_1$, y sea $D'E'F'$ un triángulo inscrito en $C_2$. Las rectas $EE'$, $DD'$ y $FF'$ pasan todas por $A$. Demuestra que los triángulos $DEF$ y $D'E'F'$ son semejantes. (iii) La circunferencia $C_3$ también pasa por $A$ y $B$. Sea $l$ una recta que pasa por $A$ y corta a las circunferencias $C_i$ en $M_i$ con $i = 1,2,3$. Demuestra que el valor de $$ \frac{M_1M_2}{M_1M_3} $$ es constante independientemente de la posición de $l$, siempre que $l$ sea distinta de $AB$.