3 Un mago intenta realizar el siguiente truco. Anuncia un entero positivo $n$ , junto con $2n$ números reales $x_1 < \dots < x_{2n}$ , al público. Un miembro del público elige entonces en secreto un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \dots , P(x_{2n})$ , y escribe estos $2n$ valores en la pizarra en orden no decreciente. Después de eso, el mago anuncia el polinomio secreto al público. ¿Puede el mago encontrar una estrategia para realizar tal truco?

7 Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$. En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con la cara hacia abajo. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: selecciona un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltea las monedas en los cuadrados superior-izquierdo e inferior-derecho; voltea la moneda en el cuadrado superior-derecho o en el inferior-izquierdo. Determina todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que todas las monedas queden con la cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia

. Las clases de Arman comenzaron a las $8{:}00$ a.m. Pasó $7$ horas en la escuela, y le tomó otros $20$ minutos llegar a casa. Halle la medida del ángulo entre la manecilla horaria y la manecilla minutera del reloj en el momento en que Arman llegó a casa. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $30^{\circ}$ & (B) $20^{\circ}$ & (C) $24^{\circ}$ & (D) $6^{\circ}$ & (E) $36^{\circ}$ \end{tabular} Q17. Nauan formó tres números primos de dos dígitos $p$ , $q$ y $r$ usando los dígitos $1, 3, 4, 6, 8$ y $9$ , cada uno exactamente una vez. Si $p>q>r$ , halle el valor de $p-q+r$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $29$ & (B) $71$ & (C) $67$ & (D) $63$ & (E) $55$ \end{tabular} Q18. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación $|x-2|+|x-3|=2$? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $1$ & (B) $2$ & (C) $3$ & (D) $4$ & (E) $0$ \end{tabular} Q19. Todos los estudiantes que se preparan para el Año Nuevo están vestidos de rojo. Solo un tercio de todas las personas vestidas de rojo son estudiantes. Exactamente la mitad de los organizadores están vestidos de rojo. Se sabe que exactamente un estudiante es también organizador, y exactamente $8$ organizadores están vestidos de rojo. Si el número total de personas vestidas de rojo es $90$ , ¿cuántas personas vestidas de rojo no son ni estudiantes ni organizadores? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $45$ & (B) $38$ & (C) $37$ & (D) $52$ & (E) $53$ \end{tabular} Q20. En el plano de coordenadas, el punto $A(a,b)$ se refleja respecto al eje $Oy$ para obtener el punto $B(c,d)$ . Luego el punto $B$ se refleja respecto al eje $Ox$ para obtener el punto $C(e,f)$ . Halle el valor de la diferencia $ab-ef$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $4d$ & (B) $2c$ & (C) $2b$ & (D) $2a$ & (E) $0$ \end{tabular} Q21. ¿Para cuántos valores enteros de $x$ la expresión $\frac{6x+3}{2x-1}$ toma un valor entero? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $4$ & (B) $5$ & (C) $6$ & (D) $7$ & (E) $8$ \end{tabular} Q22. En la sucesión $4, 9, 19, ?, 79, 159$ , falta el cuarto número. Halle la suma de los dígitos de este número que falta. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $5$ & (B) $11$ & (C) $12$ & (D) $14$ & (E) No se puede determinar \end{tabular} Q23. Los números no nulos $x, y, z$ satisfacen $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$ . Halle el valor de $\frac{xy-2yz+xz}{x^{2}-2y^{2}+z^{2}}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $-\frac{11}{13}$ & (B) $-\frac{14}{11}$ & (C) $0$ & (D) $\frac{11}{14}$ & (E) $\frac{14}{25}$ \end{tabular} Q24. ¿Cuántos números naturales de $7$ dígitos compuestos solo por los dígitos $0$ y $1$ son divisibles por $6$? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $5$ & (B) $10$ & (C) $11$ & (D) $12$ & (E) $6$ \end{tabular} Q25. Sea $s(x)$ la suma de los dígitos de un número natural $x$ (por ejemplo, $s(2025)=2+0+2+5=9$ ) . Halle el menor número natural $n$ que satisface la condición $n=59s(n)$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $4779$ & (B) $59$ & (C) $9$ & (D) $531$ & (E) $2025$ \end{tabular}

14 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico con circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $BA$ prolongado más allá de $A$ que corta a $CD$ prolongado más allá de $D$ en $L$ . Sea $\ell$ una recta que pasa por $L$ y corta a $AD$ y $BC$ en $M$ y $N$ , respectivamente, de modo que $M,D$ (respectivamente $N,C$ ) están en lados opuestos de $A$ (resp. $B$ ) . Suponga que $K$ y $J$ son puntos del arco $AB$ de $\omega$ que no contiene a $C,D$ , de modo que $MK, NJ$ son tangentes a $\omega$ . Demuestre que $K,J,L$ son colineales. Propuesto por Rijul Saini Rijul

Hay $n$ rectas paralelas en un plano, y hay un conjunto $S$ de puntos distintos. Cada punto de $S$ está sobre una de las $n$ rectas y está coloreado de rojo o de azul. Determina el valor mínimo de $n$ tal que si $S$ satisface la siguiente condición, se garantiza que hay infinitos puntos rojos e infinitos puntos azules. Cada recta contiene al menos un punto rojo y al menos un punto azul de $S$. Considera un triángulo formado por tres elementos de $S$ ubicados en tres rectas distintas. Si dos de los vértices del triángulo son rojos, debe existir un punto azul, que no sea uno de los vértices, ya sea dentro o en la frontera del triángulo. De manera similar, si dos de los vértices son azules, debe existir un punto rojo, que no sea uno de los vértices, ya sea dentro o en la frontera del triángulo.

5 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ . Se consideran los puntos $D, E, F$ en $BC, CA, AB$ , respectivamente, tales que $AF> BF$ y que el cuadrilátero $CEFD$ es un paralelogramo. La recta perpendicular a $BC$ trazada por $B$ interseca a la mediatriz de $AB$ en $G$ . Demuestre que $DE \perp FG$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Sea $P$ el punto tal que $PH$ es paralelo a $AB$ y $\angle BPH =90^{\circ}$ . Sea $Q$ el punto tal que $QH$ es paralelo a $AC$ y $\angle CQH =90^{\circ}$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $HPQ$ se encuentra sobre la recta $BC$ . Propuesto por Santiago Rodriguez

Daniel y Juan juegan un juego de Penga . Al comienzo del juego, tienen una torre hecha de ladrillos con $n$ pisos, donde cada piso tiene estrictamente más ladrillos que el piso que está encima de él. Los jugadores se turnan, comenzando por Juan. En cada turno, el jugador actual retira un ladrillo de cualquier piso de su elección. La torre se derrumba si en algún momento un piso termina teniendo más ladrillos que el piso que está debajo de él. Juan gana si la torre se derrumba; Daniel gana si todos los ladrillos son retirados sin que la torre se derrumbe jamás. Aquí hay un ejemplo de un movimiento: \begin{align*} 1&\quad \quad \quad\;\; 1\\ 5&\quad\rightarrow \quad 5\\ 5& \quad \quad \quad\;\; 4 \end{align*} Juan retira un ladrillo del piso inferior de la torre de la izquierda, lo que da como resultado la torre de la derecha, que se derrumba. a.) Determine todas las torres iniciales para las cuales Daniel puede asegurarse de que la torre nunca se derrumbe. b.) Determine cuántas torres iniciales con $7$ pisos y $96$ ladrillos en el piso inferior le permiten a Daniel garantizar que la torre nunca se derrumbe. Propuesto por Nicolás de la Hoz

5 Como se muestra en la figura, en el paralelogramo $ABCD$ , $I$ es el incentro de $\vartriangle BCD$ y $H$ es el ortocentro de $\vartriangle IBD$. Demuestre que $\angle HAB=\angle HAD$.

Considera una tabla de $100 \times 100$, e identifica la celda en la fila $a$ y columna $b$, $1 \leq a, b \leq 100$, con el par ordenado $(a, b)$. Sea $k$ un entero tal que $51 \leq k \leq 99$. Un $k$-caballo es una pieza que se mueve una celda en vertical u horizontal y $k$ celdas en la otra dirección; es decir, se mueve de $(a, b)$ a $(c, d)$ tal que $(|a-c|, |b-d|)$ es $(1, k)$ o $(k, 1)$. El $k$-caballo comienza en la celda $(1, 1)$ y realiza varios movimientos. Una secuencia de movimientos es una secuencia de celdas $(x_0, y_0) = (1, 1)$, $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $\ldots, (x_n, y_n)$ tal que, para todo $i = 1, 2, \ldots, n$, se cumple $1 \leq x_i, y_i \leq 100$ y el $k$-caballo puede moverse de $(x_{i-1}, y_{i-1})$ a $(x_i, y_i)$. En este caso, se dice que cada celda $(x_i, y_i)$ es alcanzable. Para cada $k$, encuentra $L(k)$, el número de celdas alcanzables.