1 Si $x,y,z > 0, k>2$ y $a=x+ky+kz, b=kx+y+kz, c=kx+ky+z$ , demuestre que $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \ge \frac{3}{2k+1}$ .

3 Demuestre que si el número $A = 111 \cdots 1$ ( $n$ dígitos) es primo, entonces $n$ es primo. ¿Es cierto el recíproco?

4 (a) Un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros toma el valor $-2$ en al menos siete enteros distintos $x$ . Demuestre que no puede tomar el valor $1996$ . (b) Demuestre que existen números irracionales $x,y$ tales que $x^y$ es racional.

5 Sea $I$ un intervalo abierto de longitud $\frac{1}{n}$ , donde $n$ es un entero positivo. Halle el número máximo posible de números racionales de la forma $\frac{a}{b}$ con $1 \le b \le n$ que se encuentran en $I$ .

Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos distintos $(m, n)$ para los cuales $m!n!$ es el cuadrado de un entero. Propuesto por Anton Trygub khan.academy

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $\Delta ABC$ , y $M$ el punto medio de $AC$ . La recta $MH$ corta a las rectas $AB, BC$ en los puntos $A_1, C_1$ respectivamente; $A_2$ y $C_2$ son las proyecciones de $A_1, C_1$ sobre la recta $BH$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $CA_2, AC_2$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ . Propuesto por Anton Trygub khan.academy

Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera reales $x, y$ se cumple la igualdad $$f(xf(y)) + f(xy) = 2f(x)y$$ Propuesto por Arseniy Nikolaev khan.academy

1 Se dan dos cuadráticas mónicas $f(x), g(x)$ tales que $f, g, f+g$ tienen dos raíces reales distintas. Suponga que la diferencia de las raíces de $f$ es igual a la diferencia de las raíces de $g$ . Demuestre que la diferencia de las raíces de $f+g$ no es mayor que la diferencia común anterior.

2 Inicialmente, en un pizarrón se escribe una palabra de $250$ letras con $125$ letras $A$ y $125$ letras $B$ . En cada operación, podemos elegir una cadena contigua de cualquier longitud con igual número de letras $A$ e igual número de letras $B$ , invertir esas letras y luego intercambiar cada $B$ con $A$ y cada $A$ con $B$ (Ejemplo: $ABABBA$ después de la operación se convierte en $BAABAB$ ) . Determine si es posible elegir la palabra inicial de modo que, después de algunas operaciones, se convierta en la misma palabra que la primera, pero en orden inverso.

3 Todo entero positivo mayor que $1000$ se colorea de rojo o de azul, de modo que el producto de dos números rojos distintos cualesquiera es azul. ¿Es posible que no haya dos números azules cuya diferencia sea $1$ ?