15 Demuestra que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ( $S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$ ) no es la unión de finitamente muchas progresiones aritméticas. Amir

2 En cada casilla de una tabla de 2009*2009 se puede escribir un 1 o un -1. Denote Ak el producto de todos los números de la k-ésima fila y Bj el producto de todos los números de la j-ésima columna. ¿Es posible escribir los números de tal manera que $ \sum_{i=1}^{2009}{Ai}+ \sum_{i=1}^{2009}{Bi}=0$ ?

4 Dado un número natural $n\ge 3$ , determine todas las sucesiones estrictamente crecientes $a_1<a_2<\cdots<a_n$ tales que $\text{gcd}(a_1,a_2)=1$ y, para cualquier par de números naturales $(k,m)$ que satisfaga $n\ge m\ge 3$ , $m\ge k$ , $$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{a_k}$$ es un entero positivo.

2 Demuestre que el número $ \underbrace{88\dots8}_\text{2024\; \textrm{times}}$ es divisible por 2024.

María tiene una balanza que puede indicar cuál de sus platillos es más pesado o si tienen pesos iguales. También tiene 4 pesas que parecen iguales pero cuyas masas son 1001, 1002, 1004 y 1005 g. ¿Puede María determinar la masa de cada pesa en 4 pesajes? Las pesas para un nuevo pesaje pueden elegirse cuando se conoce el resultado de los anteriores. El Jurado (Para el examen de mayores) La misma pregunta cuando el platillo izquierdo de la balanza es 1 g más liviano que el derecho, de modo que la balanza indica igualdad cuando la masa en el platillo izquierdo es 1 g mayor que la masa en el platillo derecho. Alexey Tolpygo

4 Se eligen al azar 46 casillas de un tablero de ajedrez de $9 \times 9$ y se colorean de rojo. Muestre que existe un bloque de $2\times 2$ de 4 casillas del cual al menos tres están coloreadas de rojo.

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $m$ tales que el número de factores primos impares distintos de $m(m+3)$ es un múltiplo de $3$ .

6 Halle todos los primos $p$ tales que $p^2- p + 1$ es un cubo perfecto.

29 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función continua. Supón que la restricción de $f$ al conjunto de los números irracionales es inyectiva. ¿Qué podemos decir acerca de $f$? Responde la pregunta análoga si $f$ está restringida a los racionales. Amir

Sea $n\ge 3$ un entero positivo. Halle el mayor número real $t_n$ en función de $n$ tal que la desigualdad \[\max\left(|a_1+a_2|, |a_2+a_3|, \dots ,|a_{n-1}+a_{n}| , |a_n+a_1|\right) \ge t_n \cdot \max(|a_1|,|a_2|, \dots ,|a_n|)\] se cumple para todos los números reales $a_1, a_2, \dots , a_n$ . Propuesto por Rohan Goyal y Rijul Saini S.Ragnork1729