3 Determine todos los pares $(a,b)$ de enteros distintos de $0$ para los cuales es posible encontrar un entero positivo $x$ y un entero $y$ tales que $x$ sea primo relativo con $b$ y en la siguiente lista haya una infinidad de enteros: $\rightarrow\qquad\frac{a + xy}{b}$ , $\frac{a + xy^2}{b^2}$ , $\frac{a + xy^3}{b^3}$ , $\ldots$ , $\frac{a + xy^n}{b^n}$ , $\ldots$

2020 g5 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB> AC$ , y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Las tangentes a $\Gamma$ en $B ,C$ se intersecan en $ P$ . La perpendicular a $AP$ trazada desde $A$ interseca a $BC$ en $R$ . Sea $S$ un punto sobre el segmento $PR$ tal que $PS = PC$ . Demuestre que las rectas $CS$ y $AR$ se intersecan sobre $\Gamma$ .

2 Sea $n$ un número natural mayor que 6. $X$ es un conjunto tal que $|X| = n$ . $A_1, A_2, \ldots, A_m$ son subconjuntos distintos de 5 elementos de $X$ . Si $m > \frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(4n - 15)}{600}$ , demuestre que existen $A_{i_1}, A_{i_2}, \ldots, A_{i_6}$ $(1 \leq i_1 < i_2 < \cdots, i_6 \leq m)$ , tales que $\bigcup_{k = 1}^6 A_{i_k} = 6$ .

3 Hay 1997 pastillas de medicamento. Tres frascos $A, B, C$ pueden contener a lo sumo 1997, 97, 19 pastillas de medicamento respectivamente. Al principio, las 1997 pastillas están colocadas en el frasco $A$ , y los tres frascos están cerrados. Cada pastilla de medicamento puede dividirse en 100 partes. Cuando se abre un frasco, todas las pastillas de medicamento en ese frasco pierden una parte cada una. Un hombre desea consumir todo el medicamento. Sin embargo, solo puede abrir cada uno de los frascos a lo sumo una vez al día, consumir una pastilla de medicamento, mover algunas pastillas entre los frascos, y cerrarlos. ¿Cuántas partes como mínimo se perderán para cuando termine de consumir todo el medicamento?

2 El costo de $1000$ gramos de chocolate es $x$ dólares y el costo de $1000$ gramos de papas es $y$ dólares, los números $x$ y $y$ son enteros positivos y tienen no más de $2$ dígitos. Mamá le dijo a María que comprara $200$ gramos de chocolate y $1000$ gramos de papas que cuestan exactamente $N$ dólares. María se confundió y compró $1000$ gramos de chocolate y $200$ gramos de papas que cuestan exactamente $M$ dólares ($M > N$). Resultó que los números $M$ y $N$ no tienen más de dos dígitos y están formados por los mismos dígitos pero en orden diferente. Encuentra $x$ y $y$.

1 3 países $A, B, C$ participan en una competencia donde cada país tiene 9 representantes. Las reglas son las siguientes: cada ronda de la competencia es entre 1 competidor de cada uno de 2 países. El ganador juega en la siguiente ronda, mientras que el perdedor queda eliminado. El país restante enviará entonces un representante para enfrentar al ganador de la ronda anterior. La competencia comienza con $A$ y $B$ enviando un competidor cada uno. Si todos los competidores de un país han sido eliminados, la competencia continúa entre los 2 países restantes hasta que otro país sea eliminado. El equipo restante es el campeón. I. ¿Cuántos juegos como mínimo gana el equipo campeón? II. Si el equipo campeón ganó 11 partidos, ¿cuántos partidos como mínimo se jugaron?

2 Tenemos un polígono regular $P$ de 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores, Azul y Rojo, juegan por turnos alternadamente, comenzando con Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de azul; luego Rojo selecciona un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de rojo, de modo que los triángulos formados en cada jugada no intersequen internamente a los triángulos coloreados anteriormente. Continúan jugando hasta que no sea posible elegir otro triángulo para colorear. Entonces, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes a ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados de azul o rojo incidentes al vértice son iguales, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se elimina). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana el juego. Halle una estrategia ganadora para uno de los jugadores. Nota. Dos triángulos pueden compartir vértices o lados.

. Un número $N$ es igual al producto de $200$ números naturales distintos. Demuestre que $N$ tiene al menos $19901$ divisores naturales distintos (incluyendo $1$ y al propio $N$ ). P2. Halle todos los valores del parámetro $p$ para los cuales existen exactamente $2002$ enteros $x$ que satisfacen la desigualdad $x^{2}-\pi x+p<0$ . P3. El polinomio $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ tiene tres raíces reales distintas, mientras que el polinomio $P(Q(x))$ , donde $Q(x)=x^{2}+x+2003$ , no tiene raíces reales. Demuestre que $P(2003)>\frac{1}{64}$ . P4. El triángulo $ABC$ está dividido por sus medianas en seis triángulos más pequeños. Los radios de las circunferencias inscritas de cuatro de estos triángulos son iguales. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

1 Sea $S = \lbrace A = (a_1, \ldots, a_s) \mid a_i = 0$ o $1, i = 1, \ldots, 8 \rbrace$ . Para cualesquiera 2 elementos de $S$ , $A = \lbrace a_1, \ldots, a_8\rbrace$ y $B = \lbrace b_1, \ldots, b_8\rbrace$ . Sea $d(A,B) = \sum_{i=1}{8} |a_i - b_i|$ . Llame a $d(A,B)$ la distancia entre $A$ y $B$ . ¿Cuántos elementos como máximo puede tener $S$ de modo que la distancia entre cualesquiera 2 conjuntos sea al menos 5?

3 Sea $N$ un entero positivo. Geoff y Ceri juegan un juego en el que comienzan escribiendo los números $1, 2, \dots, N$ en un tablero. Luego se turnan para hacer un movimiento, comenzando por Geoff. Cada movimiento consiste en elegir un par de enteros $(k, n)$ , donde $k \geq 0$ y $n$ es uno de los enteros del tablero, y luego borrar todo entero $s$ del tablero tal que $2^k \mid n - s$ . El juego continúa hasta que el tablero queda vacío. El jugador que borra el último entero del tablero pierde. Determine todos los valores de $N$ para los cuales Geoff puede asegurar que gana, sin importar cómo juegue Ceri.