2 Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión de enteros positivos impares que satisface la siguiente condición: Para todo entero positivo $n$ , el menor entero impar mayor que $a_{n+1}$ y primo relativo con $a_{n}$ es igual a $a_{n+2}$ . Demuestre que existe una constante positiva $C$ tal que \[ |a_n - 2n| \le C \] para todos los enteros positivos $n$ .

. Sean $a, b$ números reales no negativos tales que $a+b=1$ . Demuestre la desigualdad \[\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leqslant a^{3}+b^{3}.\] P2. Un club de matemáticas consta de dos niñas y siete niños. ¿De cuántas maneras se pueden dividir estas nueve personas en tres grupos de tres personas cada uno, de modo que cada grupo contenga al menos dos niños? P3. Sea $s(x)$ la suma de los dígitos de un número natural $x$ . Por ejemplo, $s(2025)=2+0+2+5=9$ . Demuestre que la ecuación \[s(n^{2})+2s(n+2)=2025\] no tiene soluciones en el conjunto de los números naturales. P4. Sea $ABCD$ un cuadrado. Una circunferencia con centro en $C$ y radio $CB$ interseca a la circunferencia con diámetro $AB$ en el punto $E$ . Si $AB=2$ , halle $AE$ .

4 Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(x^2 + f(y)^2) + 2f(x)y = f\bigl(x + f(y)\bigr)^2 \] para todos los números reales $x$ y $y$ .

3er nivel Cada respuesta correcta vale 3 puntos.

2 En el triángulo $ABC$ con $AC>BC$ , el punto $K$ es la reflexión del punto $A$ respecto a la bisectriz del ángulo $CD$ . Sea $L$ tal que $BDCL$ es un paralelogramo, y sea $H$ el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a la recta $BL$ . Suponga que las rectas $AH$ y $CL$ se intersecan en el punto $M$ . Demuestre que las rectas $CD$ y $KM$ son paralelas.

1er nivel Cada respuesta correcta vale 1 punto.

2do nivel Cada respuesta correcta vale 2 puntos.

. Si $\text{DRAMA}+\text{DRAMA}=\text{TEATR}$ , halle el mayor valor posible del producto $\text{IN}\cdot\text{SIN}$ (letras diferentes denotan dígitos diferentes). \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12042$ & (B) $61734$ & (C) $20532$ & (D) $22764$ & (E) $23504$ \end{tabular} Q27. Calcule la suma \[\frac{2+3+\ldots+200}{1}+\frac{3+4+\ldots+200}{1+2}+\ldots+\frac{199+200}{1+2+\ldots+198}+\frac{200}{1+2+\ldots+199}.\] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $50500$ & (B) $40000$ & (C) $39800$ & (D) $14252$ & (E) $1002$ \end{tabular} Q28. Se da el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{aligned} kx+y &=1 \\ x+ky &=1 \end{aligned}\right.$. Para todos los valores de $k$ para los cuales el sistema tiene una solución única, ¿cuál afirmación es correcta? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $k=1$ & (B) $k=-1$ & (C) $k\geqslant0$ & (D) $k\ne\pm1$ & (E) $k\leqslant2$ \end{tabular} Q29. ¿Cuántos pares de números naturales $(a,b)$ satisfacen la ecuación $a^{2}b=20^{26}$? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $676$ & (B) $378$ & (C) $338$ & (D) $200$ & (E) $128$ \end{tabular} Q30. Halle el residuo cuando $1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+\ldots+2023\cdot2024\cdot2025$ se divide entre $2026$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0$ & (B) $6$ & (C) $1012$ & (D) $1014$ & (E) $564$ \end{tabular}

. Un club de turistas inició una caminata a las 12:00. Los participantes caminaron por un camino plano a una velocidad constante de $4km/h$ , luego subieron por un sendero de montaña a una velocidad de $3km/h$ . Inmediatamente después, descendieron por el mismo sendero de montaña a una velocidad de $6km/h$ y finalmente regresaron a casa por el camino plano nuevamente a una velocidad de $4km/h$ . Regresaron a las 18:00. ¿Qué distancia total recorrió el club? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12km$ & (B) $18km$ & (C) $24km$ & (D) $30km$ & (E) $36km$ \end{tabular} Q2. Dos velas de igual longitud se encienden a las 20:00. La primera vela se consume por completo en $6$ horas, mientras que la segunda se consume por completo en $3$ horas. ¿A qué hora será la longitud de una vela exactamente el doble de la longitud de la otra? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $20{:}30$ & (B) $22{:}00$ & (C) $21{:}00$ & (D) $21{:}30$ & (E) $21{:}10$ \end{tabular} Q3. Como se muestra en la figura, las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas. Se da que $\angle ABC=40^{\circ}$ y $\angle ADE=145^{\circ}$ . Halle la medida del ángulo $\angle AOC$ . [asy] import geometry; size(6cm); point A=(0,0), B=(1,0), C=intersectionpoint(line((0,-1),(1,-1)), line(B,B+rotate(40)*(A-B))), D=intersectionpoint(line((0,-1),(1,-1)), line(B,A+rotate(-35)*(B-A))), E=D+(0.5,0), O=intersectionpoint(A--D, B--C); draw((-0.5,-1)--A--(1.5,0)--(1.5,-1)--cycle, invisible); draw(line(A,B)); draw(line(C,D)); draw(A--D); draw(B--C); markangle(A, B, C, radius=0.5markangleradius()); markangle(E, D, A, radius=0.5markangleradius(), n=2); markangle(A, O, C, L="$x$", radius=0.5markangleradius(), dashed); dot("$A$", A, N); dot("$B$", B, N); dot("$C$", C, S); dot("$D$", D, S); dot("$E$", E, S); dot("$O$", O, dir(0)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $90^{\circ}$ & (B) $72^{\circ}$ & (C) $45^{\circ}$ & (D) $30^{\circ}$ & (E) $75^{\circ}$ \end{tabular} Q4. Dado que $f(x)=x^{2}+3$ , halle $f(x+2)$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $x^{2}+4x+3$ & (B) $x^{2}+4x+7$ & (C) $x^{2}+4$ & (D) $x^{2}+2x+3$ & (E) $x^{2}+2x+4$ \end{tabular} Q5. En la sucesión $5,11, 23, ?, 95, 191$ , falta el cuarto número. Halle la suma de los dígitos de este número que falta. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $5$ & (B) $11$ & (C) $12$ & (D) $14$ & (E) No se puede determinar \end{tabular} Q6. Un estafador le dio a un vendedor $10000$ tenge para comprar un sombrero que costaba $8500$ tenge (el vendedor le dio $1500$ tenge de cambio). Más tarde, el estafador regresó a la misma tienda y compró un libro por $2000$ tenge, pagando con un billete de $5000$ tenge y recibiendo $3000$ tenge de cambio. Una hora después, el vendedor descubrió que todo el dinero usado por el estafador era falso. Si el costo de producción del sombrero es de $4500$ tenge y el costo de producción del libro es de $1300$ tenge (no se considera la ganancia), ¿cuál es la pérdida total sufrida por la tienda? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $23500$ & (B) $10300$ & (C) $5800$ & (D) $22000$ & (E) $15000$ \end{tabular} Q7. Se sabe que $25!=1551121004333098*984000000$ . Halle el dígito reemplazado por el asterisco $*$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $6$ & (C) $9$ & (D) $5$ & (E) $7$ \end{tabular} Q8. Dada la función $f(x)=2^{x}$ , calcule la suma $f(1)+f(2)+\cdots+f(2025)$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $2^{2026}-1$ & (B) $2^{2025}-1$ & (C) $2^{2026}+2$ & (D) $4^{1013}-2$ & (E) $4^{2025}+3$ \end{tabular} Q9. Los lados de un triángulo son $8cm$ , $15cm$ y $17cm$ . Halle la medida del ángulo opuesto al lado más largo del triángulo. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $120^{\circ}$ & (B) $70^{\circ}$ & (C) $90^{\circ}$ & (D) $135^{\circ}$ & (E) $72^{\circ}$ \end{tabular} Q10. ¿Cuántos números distintos de $8$ dígitos (incluido el propio número) se pueden formar permutando los dígitos del número $22532141$? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3360$ & (B) $4048$ & (C) $2026$ & (D) $2024$ & (E) $720$ \end{tabular} Q11. Las clases de Arman comenzaron a las $8{:}00$ a.m. Pasó $7$ horas en la escuela, y le tomó otros $30$ minutos llegar a casa. Halle la medida del ángulo entre la manecilla horaria y la manecilla minutera del reloj en el momento en que Arman llegó a casa. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0^{\circ}$ & (B) $20^{\circ}$ & (C) $60^{\circ}$ & (D) $75^{\circ}$ & (E) $15^{\circ}$ \end{tabular} Q12. Dada la función $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Si $f(0)=1$ y $f(2)=2$ , halle el valor de la expresión $2a+b-c$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $-1$ & (C) $0$ & (D) $2$ & (E) $-\frac{1}{2}$ \end{tabular} Q13. Arman usó una balanza para determinar que la masa de un libro y un cuaderno es igual a la masa de una mochila. La masa de un libro es igual a la masa de un bolígrafo y un cuaderno, y la masa de tres bolígrafos es igual a la masa de un cuaderno. ¿La masa de cuántos bolígrafos es igual a la masa de una mochila? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $4$ & (C) $5$ & (D) $6$ & (E) $7$ \end{tabular} Q14. $7$ puntos están marcados sobre una circunferencia. ¿Cuántos triángulos se pueden formar cuyos vértices se elijan entre estos puntos? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $10$ & (B) $35$ & (C) $21$ & (D) $24$ & (E) $20$ \end{tabular} Q15. Los casilleros de la escuela secundaria № $700$ están numerados del $1$ al $700$ . Comenzando desde el casillero $1$ , cada sexto casillero tiene una etiqueta azul, cada noveno casillero tiene una etiqueta amarilla, y cada décimo casillero tiene una etiqueta verde. ¿Cuántos casilleros tienen las tres etiquetas? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $4$ & (C) $7$ & (D) $8$ & (E) $9$ \end{tabular}

1 Del conjunto de números $S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ , ¿cuántos pares $(a,b)$ se pueden elegir tales que $a \leqslant b$ y $\gcd(a,b)=1$ ? (Los números $a$ y $b$ no son necesariamente distintos.)