11.4 Igual que 9.5

11.7 Hay varios osos viviendo en las $2025$ islas del Océano Ártico. Cada oso a veces nada de una isla a otra. Resultó que cada oso hizo al menos una nadada en un año, pero no hay dos osos que hicieran nadadas iguales. Al mismo tiempo, exactamente una nadada se hizo entre cada dos islas $A$ y $B$: ya sea de $A$ a $B$ o de $B$ a $A$. Demuestra que no había osos en alguna isla al principio y al final del año. A. Kuznetsov

5 Encuentra todos los enteros positivos \(n\) y todos los números primos \(p\geq 5\) tales que \((2p)^n+1\) es un cubo perfecto.

3 Sea $PQ$ un arco de la circunferencia $k(M, r)$. Sea $g$ la recta que contiene a la cuerda $PQ$. Sea $k_1$ una circunferencia que toca externamente a $k$ en el arco $PQ$ y toca a la recta $g$. Demuestra que la longitud del segmento tangente a $k_1$ trazado desde el punto medio $A$ del arco $PQ$ es independiente de $k_1$.

4 Sea \(a\) la solución positiva de la ecuación \(a^2 - a - 1 = 0\). Demuestra que para todos los números naturales \(n\) se cumple la siguiente igualdad: \[ \left[ a^2 \cdot n \right] = [a \cdot [a \cdot n]] + 1 \] donde \([x]\) es el mayor número entero menor o igual que \(x\).

6 Sea $P_{1}P_{2}\dots P_{2n}$ un polígono convexo con un número par de vértices. Demuestra que existe una diagonal $P_{i}P_{j}$ que no es paralela a ningún lado del polígono.

1 El $C$-excircunferencia de un triángulo $ABC$ toca $AB, AC, BC$ en $M, N, K$. Los puntos $P, Q$ están sobre $NK$ de modo que $AN=AP, BK=BQ$. Demuestra que el circunradio de $\triangle MPQ$ es igual al inradio de $\triangle ABC$.

2 $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c\ge 3$ y $a^2+b^2+c^2=2abc+1$ . Demuestra que $$a+b+c\le 2\sqrt{abc}+1$$

Dado un tablero de ajedrez \(2n\times 2n\). Samat pinta algunas \(k\) casillas de azul o rojo. Farkhat pinta todas las demás casillas del tablero de azul o rojo de modo que el tablero final cumpla las siguientes condiciones: • cada fila y cada columna contiene el mismo número de casillas azules y rojas; • en cada fila y en cada columna no hay tres casillas consecutivas del mismo color; • cualesquiera dos filas son distintas y cualesquiera dos columnas son distintas. (Si las filas \(r_1\) y \(r_2\) tienen casillas de colores diferentes en la misma columna, entonces se consideran filas distintas. Similarmente para columnas.) Encuentra el menor valor posible de \(k\) (dependiendo de \(n\)) para el cual Farkhat puede colorear el tablero de a lo sumo una manera, sin importar el coloreado de Samat. (Si una casilla ya está coloreada de azul o rojo, ya no puede ser recoloreada.)

4 Dado que $x,y>0$ cumplen $x^2y^2+2x^3y=1$. Encuentra el valor mínimo de la suma $x+y$.