3 Sea $n$ un entero positivo. Determine el valor máximo de $gcd(a, b) + gcd(b, c) + gcd(c, a)$ para enteros positivos $a, b, c$ tales que $a + b + c = 5n$ .

1 Suponga que se da una cuadrícula con $2m$ filas y $2n$ columnas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Usted puede colocar un peón en cualquier casilla de esta cuadrícula, excepto en la inferior izquierda o en la superior derecha. Después de colocar el peón, un caracol quiere emprender un recorrido por la cuadrícula. Comenzando desde la casilla inferior izquierda, quiere visitar cada casilla exactamente una vez, excepto aquella en la que está el peón, que el caracol quiere evitar. Además, quiere terminar en la casilla superior derecha. Solo puede moverse horizontal o verticalmente sobre la cuadrícula. ¿En qué casillas puede usted colocar el peón para que el caracol pueda terminar su recorrido?

2 Suponga que se da un triángulo $\vartriangle ABC$ con $\angle C = 90^o$ . Sea $D$ el punto medio de $AC$ , y sea $E$ el pie de la altura trazada por $C$ sobre $BD$ . Muestre que la tangente en $C$ a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle AEC$ es perpendicular a $AB$ .

3 Sea $n \ge 0$ un entero. Una sucesión $a_0,a_1,a_2,...$ de enteros se define como sigue: se tiene $a_0 = n$ y, para $k \ge 1, a_k$ es el menor entero mayor que $a_{k-1}$ para el cual $a_k +a_{k-1}$ es el cuadrado de un entero. Demuestre que hay exactamente $\lfloor \sqrt{2n}\rfloor$ enteros positivos que no pueden escribirse en la forma $a_k - a_{\ell}$ con $k > \ell\ge 0$ .

4 Sea $A$ un conjunto de funciones $f : R\to R$ . Para todos $f_1, f_2 \in A$ existe un $f_3 \in A$ tal que $f_1(f_2(y) - x)+ 2x = f_3(x + y)$ para todo $x, y \in R$ . Demuestre que para toda $f \in A$ , se tiene $f(x - f(x))= 0$ para todo $x \in R$ .

1 (a) Si $c(a^3+b^3) = a(b^3+c^3) = b(c^3+a^3)$ con $a, b, c$ números reales positivos, ¿se cumple necesariamente $a = b = c$ ? (b) Si $a(a^3+b^3) = b(b^3+c^3) = c(c^3+a^3)$ con $a, b, c$ números reales positivos, ¿se cumple necesariamente $a = b = c$ ?

4 En un aula de al menos cuatro estudiantes se cumple lo siguiente: no importa cuáles cuatro de ellos se sienten alrededor de una mesa redonda, siempre hay alguien que conoce a sus dos vecinos o no conoce a ninguno de sus dos vecinos. Demuestre que es posible dividir a los estudiantes en dos grupos tales que en uno de ellos todos los estudiantes se conozcan entre sí, y en el otro ninguno de los estudiantes se conozca entre sí. (Nota: si el estudiante A conoce al estudiante B, entonces el estudiante B también conoce al estudiante A.)

1 Un conjunto de rectas en el plano se llama bonito si toda recta del conjunto interseca a un número impar de otras rectas del conjunto. Determine el menor entero $k \ge 0$ con la siguiente propiedad: para cada $2018$ rectas distintas $\ell_1, \ell_2, ..., \ell_{2018}$ en el plano, existen rectas $\ell_{2018+1},\ell_{2018+2}, . . . , \ell_{2018+k}$ tales que las rectas $\ell_1, \ell_2, ..., \ell_{2018+k}$ son distintas y forman un conjunto bonito.

2 Halle todas las funciones $f : R \to R$ tales que $f(x^2)-f(y^2) \le (f(x)+y) (x-f(y))$ para todo $x, y \in R$ .

4 En un triángulo no isósceles $ABC$ , el centro de la circunferencia inscrita se denota por $I$ . El otro punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ con la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC$ es $D$ . La recta por $I$ perpendicular a $AD$ interseca a $BC$ en $F$ . El punto medio del arco $BC$ de la circunferencia sobre el cual se encuentra $A$ se denota por $M$ . El otro punto de intersección de la recta $MI$ con la circunferencia que pasa por $B, I$ y $C$ se denota por $N$ . Demuestre que $FN$ es tangente a la circunferencia que pasa por $B, I$ y $C$ .