3 Sean $AB$ y $AC$ dos rayos distintos que no están sobre la misma recta, y sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ que es tangente al rayo $AC$ en $E$ y al rayo $AB$ en $F$ . Sea $R$ un punto del segmento $EF$ . La recta que pasa por $O$ paralela a $EF$ interseca la recta $AB$ en $P$ . Sea $N$ la intersección de las rectas $PR$ y $AC$ , y sea $M$ la intersección de la recta $AB$ con la recta que pasa por $R$ paralela a $AC$ . Demuestre que la recta $MN$ es tangente a $\omega$ . Warut Suksompong, Tailandia

4 El país Dreamland consta de $2016$ ciudades. La aerolínea Starways quiere establecer algunos vuelos de un solo sentido entre pares de ciudades de modo que cada ciudad tenga exactamente un vuelo de salida. Halle el menor entero positivo $k$ tal que, sin importar cómo Starways establezca sus vuelos, las ciudades siempre puedan particionarse en $k$ grupos de modo que desde cualquier ciudad no sea posible llegar a otra ciudad del mismo grupo usando a lo sumo $28$ vuelos. Warut Suksompong, Tailandia

5 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que $$(z + 1)f(x + y) = f(xf(z) + y) + f(yf(z) + x),$$ para todos los números reales positivos $x, y, z$ . Fajar Yuliawan, Indonesia

2 Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos, una partición de $A$ en dos subconjuntos disjuntos no vacíos $A_1$ y $A_2$ es $\textit{good}$ si el mínimo común múltiplo de los elementos de $A_1$ es igual al máximo común divisor de los elementos de $A_2$ . Determine el valor mínimo de $n$ tal que exista un conjunto de $n$ enteros positivos con exactamente $2016$ particiones buenas. Nota: en 2015 ISL C3 se tiene 2015 en lugar de 2016

3 Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $m>n$ . Defina $x_k=\frac{m+k}{n+k}$ para $k=1,2,\ldots,n+1$ . Demuestre que si todos los números $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ son enteros, entonces $x_1x_2\ldots x_{n+1}-1$ es divisible por un primo impar.

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ puntos de los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ , respectivamente. Sea $O$ el punto de intersección de los segmentos $PR$ y $QS$ . Suponga que cada uno de los cuadriláteros $APOS$ , $BQOP$ , $CROQ$ y $DSOR$ tiene una circunferencia inscrita. Demuestre que las rectas $AC$ , $PQ$ y $RS$ son concurrentes o bien paralelas entre sí.

1 Para cada entero positivo $n$ , determine las cifras de las unidades y de las centenas de la representación decimal del número $$\frac{1 + 5^{2n+1}}{6}$$

2 Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ con la propiedad de que \[f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\] se cumple para todos $x,y\in\mathbb{Z}$ .

1 Halle un triángulo $ABC$ con un punto $D$ sobre el lado $AB$ tal que las medidas de $AB, BC, CA$ y $CD$ son todas enteras y $\frac{AD}{DB}=\frac{9}{7}$ , o demuestre que tal triángulo no existe.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{C} = 90^{\circ}$ , y sea $H$ el pie de la altura trazada desde $C$ . Se elige un punto $D$ en el interior del triángulo $CBH$ de modo que $CH$ biseca a $AD$ . Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $BD$ y $CH$ . Sea $\omega$ la semicircunferencia con diámetro $BD$ que corta al segmento $CB$ en un punto interior. Una recta que pasa por $P$ es tangente a $\omega$ en $Q$ . Demuestre que las rectas $CQ$ y $AD$ se cortan sobre $\omega$ .