3 Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $m$ un entero con $m \ge 2n$ . Entre los vértices de un $m$ -ágono regular, elija $2n$ vértices distintos, y coloree $n$ de ellos de rojo y los $n$ restantes de azul. Suponga que se cumple la siguiente condición: Para cualesquiera dos vértices rojos distintos y cualesquiera dos vértices azules distintos, la distancia entre los dos vértices rojos es diferente de la distancia entre los dos vértices azules. Determine, en términos de $n$ , el menor valor posible de $m$ .

5 Sea $\pi$ un plano en el espacio tridimensional, y sea $ABC$ un triángulo no isósceles contenido en $\pi$ con incentro $I$ . Demuestre que existe un triángulo $\tau$ tal que se cumple lo siguiente: Sea $P$ un punto que no está en $\pi$ que satisface \[ AP \cdot BC = BP \cdot CA = CP \cdot AB. \] Sean $I_A, I_B, I_C$ los incentros de los triángulos $BCP, CAP, ABP$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $II_BI_C$ interseca a $\pi$ en un punto $X \neq I$ , la circunferencia circunscrita del triángulo $II_CI_A$ interseca a $\pi$ en un punto $Y \neq I$ , y la circunferencia circunscrita del triángulo $II_AI_B$ interseca a $\pi$ en un punto $Z \neq I$ . Entonces el triángulo $XYZ$ es semejante a $\tau$ .

. Sean $a, b$ números reales no negativos tales que $a+b=1$ . Demuestre la desigualdad \[\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leqslant a^{3}+b^{3}.\] P2. Un club de matemáticas consta de dos niñas y siete niños. ¿De cuántas maneras se pueden dividir estas nueve personas en tres grupos de tres personas cada uno, de modo que cada grupo contenga al menos dos niños? P3. Sea $s(x)$ la suma de los dígitos de un número natural $x$ . Por ejemplo, $s(2025)=2+0+2+5=9$ . Demuestre que la ecuación \[s(n^{2})+2s(n+2)=2025\] no tiene soluciones en el conjunto de los números naturales. P4. Sea $ABCD$ un cuadrado. Una circunferencia con centro en $C$ y radio $CB$ interseca a la circunferencia con diámetro $AB$ en el punto $E$ . Si $AB=2$ , halle $AE$ .

2 Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión de enteros positivos impares que satisface la siguiente condición: Para todo entero positivo $n$ , el menor entero impar mayor que $a_{n+1}$ y primo relativo con $a_{n}$ es igual a $a_{n+2}$ . Demuestre que existe una constante positiva $C$ tal que \[ |a_n - 2n| \le C \] para todos los enteros positivos $n$ .

4 Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(x^2 + f(y)^2) + 2f(x)y = f\bigl(x + f(y)\bigr)^2 \] para todos los números reales $x$ y $y$ .

1er nivel Cada respuesta correcta vale 1 punto.

2 En el triángulo $ABC$ con $AC>BC$ , el punto $K$ es la reflexión del punto $A$ respecto a la bisectriz del ángulo $CD$ . Sea $L$ tal que $BDCL$ es un paralelogramo, y sea $H$ el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a la recta $BL$ . Suponga que las rectas $AH$ y $CL$ se intersecan en el punto $M$ . Demuestre que las rectas $CD$ y $KM$ son paralelas.

. Si $\text{DRAMA}+\text{DRAMA}=\text{TEATR}$ , halle el mayor valor posible del producto $\text{IN}\cdot\text{SIN}$ (letras diferentes denotan dígitos diferentes). \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12042$ & (B) $61734$ & (C) $20532$ & (D) $22764$ & (E) $23504$ \end{tabular} Q27. Calcule la suma \[\frac{2+3+\ldots+200}{1}+\frac{3+4+\ldots+200}{1+2}+\ldots+\frac{199+200}{1+2+\ldots+198}+\frac{200}{1+2+\ldots+199}.\] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $50500$ & (B) $40000$ & (C) $39800$ & (D) $14252$ & (E) $1002$ \end{tabular} Q28. Se da el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{aligned} kx+y &=1 \\ x+ky &=1 \end{aligned}\right.$. Para todos los valores de $k$ para los cuales el sistema tiene una solución única, ¿cuál afirmación es correcta? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $k=1$ & (B) $k=-1$ & (C) $k\geqslant0$ & (D) $k\ne\pm1$ & (E) $k\leqslant2$ \end{tabular} Q29. ¿Cuántos pares de números naturales $(a,b)$ satisfacen la ecuación $a^{2}b=20^{26}$? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $676$ & (B) $378$ & (C) $338$ & (D) $200$ & (E) $128$ \end{tabular} Q30. Halle el residuo cuando $1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+\ldots+2023\cdot2024\cdot2025$ se divide entre $2026$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0$ & (B) $6$ & (C) $1012$ & (D) $1014$ & (E) $564$ \end{tabular}

3er nivel Cada respuesta correcta vale 3 puntos.

2do nivel Cada respuesta correcta vale 2 puntos.