2012 g6 En el triángulo $\vartriangle ABC$ , sea $H$ el punto de intersección de las rectas perpendiculares a $BA$ y $CA$ que pasan por $C$ y $ B$ , respectivamente. El punto medio de $BC$ es $M$ . El pie de la perpendicular a $MH$ que pasa por $ A$ es $ P$ . Sea $Q$ el punto reflejo de $ P$ respecto al punto medio de $AH$ . La recta perpendicular a $CP$ que pasa por $Q$ se encuentra con $PA$ y $PC$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Las rectas $BA$ y $PM$ se encuentran en $X$ . Las rectas $CP$ y $AH$ se encuentran en $Y$ . La circunferencia circunscrita de $\vartriangle CQT$ se encuentra nuevamente con $CS$ en $Z$ . Demuestre que $\angle AXY = \angle AZS$ .

25. Demuestra que toda partición del espacio tridimensional en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para cada $a \in \mathbb R^+$, existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tales que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a.$ Amir

2 Si $n$ es un entero positivo y $a, b$ son enteros positivos relativamente primos, calcule $(a + b,a^n + b^n)$ .

2012 g5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo con lados opuestos no paralelos tal que $AC$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita de $ABCD$ . Las rectas $AB$ y $CD$ se encuentran en $S$ . Las rectas $BC$ y $DA$ se encuentran en $T$ . La bisectriz interna de $\angle BSC$ se encuentra con $BC$ y $DA$ en $F$ y $H$ , respectivamente. La bisectriz interna de $\angle CTD$ se encuentra con $CD$ y $AB$ en $G$ y $E$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $\vartriangle BEF$ y $\vartriangle DGH$ son tangentes.

15 Un cuadrado de papel tiene lados de longitud $ 100$ . De cada esquina se corta una cuña de la siguiente manera: en cada esquina, los dos cortes de la cuña comienzan cada uno a distancia $ \sqrt {17}$ de la esquina, y se encuentran en la diagonal con un ángulo de $ 60^\circ$ (ver la figura de abajo). Luego el papel se dobla hacia arriba a lo largo de las líneas que unen los vértices de cortes adyacentes. Cuando los dos bordes de un corte se encuentran, se pegan con cinta. El resultado es una bandeja de papel cuyos lados no están en ángulo recto con la base. La altura de la bandeja, es decir, la distancia perpendicular entre el plano de la base y el plano formado por los bordes superiores, se puede escribir en la forma $ \sqrt [n]{m}$ , donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos, $ m < 1000$ , y $ m$ no es divisible por la $ n$ -ésima potencia de ningún primo. Encuentra $ m + n$ . [asy]import math; unitsize(5mm); defaultpen(fontsize(9pt)+Helvetica()+linewidth(0.7)); pair O=(0,0); pair A=(0,sqrt(17)); pair B=(sqrt(17),0); pair C=shift(sqrt(17),0)*(sqrt(34)*dir(75)); pair D=(xpart(C),8); pair E=(8,ypart(C)); draw(O--(0,8)); draw(O--(8,0)); draw(O--C); draw(A--C--B); draw(D--C--E); label("$\sqrt{17}$",(0,2),W); label("$\sqrt{17}$",(2,0),S); label("cut",midpoint(A--C),NNW); label("cut",midpoint(B--C),ESE); label("fold",midpoint(C--D),W); label("fold",midpoint(C--E),S); label("$30^\circ$",shift(-0.6,-0.6)*C,WSW); label("$30^\circ$",shift(-1.2,-1.2)*C,SSE);[/asy]

2 Sea $f: \mathbb R^{n}\longrightarrow\mathbb R^{m}$ una aplicación lineal no nula. Demuestre que existe una base $\{v_{1},\dots,v_{n}m\}$ de $\mathbb R^{n}$ tal que el conjunto $\{f(v_{1}),\dots,f(v_{n})\}$ es linealmente independiente, después de omitir los elementos repetidos. Omid

12 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=3. $ Demuestre que $$\frac{a^4+3ab^3}{a^3+2b^3}+\frac{b^4+3bc^3}{b^3+2c^3}+\frac{c^4+3ca^3}{c^3+2a^3}\leq4.$$

7 Cada punto de un círculo está coloreado de azul o de amarillo, de modo que hay al menos un punto de cada color. Demuestre que para toda coloración del círculo existe siempre un triángulo isósceles inscrito en el círculo 1) con todos los vértices del mismo color. 2) con vértices de ambos colores. ¿Para toda coloración del círculo existe un triángulo equilátero inscrito en el círculo 3) con todos los vértices del mismo color? 4) con vértices de ambos colores?

5 Muestre que no existe ninguna función $f:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ que satisfaga $f(f(x))-x^2+x+3=0$ para toda variable real $x$ . (Igual que KMO 2004 P1)

3 Suponga que $(u,v)$ es un producto interno en $\mathbb R^{n}$ y que $f: \mathbb R^{n}\longrightarrow\mathbb R^{n}$ es una isometría tal que $f(0)=0$ . 1) Demuestre que para cada $u,v$ se tiene $(u,v)=(f(u),f(v)$ . 2) Demuestre que $f$ es lineal. Omid