4 Sea $A$ una sucesión finita no vacía de $n$ enteros distintos $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ . Definimos \[ A + A = \{a_i + a_j \mid 1 \le i,j \le n\}, \] es decir, el conjunto de todas las sumas por pares de números de $A$ . Por ejemplo, para $A = \{1,4\}$ , $A + A = \{2,5,8\}$ . (a) Muestre que $|A + A| \ge 2n - 1$ . Aquí $|A + A|$ denota el número de elementos de $A + A$ . (b) Demuestre que $|A + A| = 2n - 1$ si y solo si la sucesión $A$ es una progresión aritmética. (c) Halle una sucesión $A$ de la forma $0 < 1 < a_3 < \cdots < a_{10}$ tal que $|A + A| = 20$ .

3 Considere la función $f(x) = x^{\cos(x)+\sin(x)}$ definida para $x \ge 0$ . (a) Demuestre que \[ 0.4 \le \int_0^1 f(x)\,dx \le 0.5. \] (b) Suponga que la gráfica de $f(x)$ se está trazando en una pantalla de computadora con velocidad uniforme de $1$ cm por segundo (es decir, así de rápido está aumentando la longitud de la curva). Muestre que en el momento en que se está dibujando el punto correspondiente a $x = 1$ , la coordenada $x$ está aumentando a razón de \[ \frac{1}{\sqrt{2+\sin(2)}} \text{ cm per second.} \]

5 Halle un polinomio $p(x)$ que tenga simultáneamente las dos propiedades siguientes. (i) Cuando $p(x)$ se divide por $x^{100}$ , el residuo es el polinomio constante $1$ . (ii) Cuando $p(x)$ se divide por $(x - 2)^3$ , el residuo es el polinomio constante $2$ .

6 Halle todos los pares $(p, n)$ de enteros positivos donde $p$ es un número primo y $p^{3}-p=n^{7}-n^{3}$

2 Por definición, la región interior a la parábola $y = x^2$ es el conjunto de puntos $(a,b)$ tal que $b \ge a^2$ . Nos interesan aquellos círculos cuyos puntos están todos en esta región. Una burbuja en un punto $P$ de la gráfica de $y = x^2$ es el mayor círculo de este tipo que contiene a $P$ . (Puede suponer el hecho de que existe un único círculo de este tipo en cualquier punto dado de la parábola.) (a) Una burbuja en algún punto de la parábola tiene radio $1$ . Halle el centro de esta burbuja. (b) Halle el radio de la menor burbuja posible en algún punto de la parábola. Justifique.

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un pentágono inscrito en una circunferencia. Para enteros $1 \leqslant i \leqslant 5$, sea $I_i$ el incentro del triángulo $A_iA_{i+2}A_{i-2}$, y la recta $A_{i + 1}A_{i - 2}$ y $A_{i - 1}A_{i + 2}$ se intersecan en $B_i$. Aquí, $A_{n + 5} = A_n$ para todo entero $n$. Si existe una circunferencia inscrita en el pentágono $B_1B_2B_3B_4B_5$, demuestra que $I_1, I_2, I_3, I_4, I_5$ están sobre la misma circunferencia.

. Demuestre que para cualesquiera enteros $a, b, c, d$ , el número $abcd(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})(a^{2}-d^{2})(b^{2}-c^{2})(b^{2}-d^{2})(c^{2}-d^{2})$ es divisible por $7$ . P2. En el triángulo $ABC$ se cumplen las siguientes condiciones: $AB=5$ , $BC=10$ y $\angle ABC=90^{\circ}$ . $DEFG$ es un cuadrado tal que los vértices $D$ y $E$ están sobre el segmento $BC$ , el vértice $F$ está sobre el segmento $AC$ , y el vértice $G$ está sobre la circunferencia con centro $A$ que pasa por el punto $B$ . Halle el área de $DEFG$ . P3. Los números positivos $x$ y $y$ satisfacen $xy=4$ . Halle el máximo valor posible de $\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}$ . P4. Resuelva la ecuación $\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^{r}+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^{r}=14$ para valores racionales de $r$ . P5. Los números $11$ y $13$ están escritos en un pizarrón. En una jugada, se permite escribir un número más igual a la suma de dos números distintos ya escritos en el pizarrón. ¿Es posible, después de varias jugadas de este tipo, obtener el número $2015$ ? P6. Las diagonales del paralelogramo $ABCD$ se intersecan en el punto $O$ , y las bisectrices de los ángulos $\angle DAC$ y $\angle DBC$ se intersecan en el punto $T$ . Se sabe que $\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$ . Halle todos los ángulos del triángulo $ABT$ .

. Los números reales $x, y, z$ satisfacen $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ . Demuestre que $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}=3$ . P2. En el lado $AB$ del cuadrado $ABCD$ , se elige un punto $E$ tal que $AB:AE=\sqrt2$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BED$ interseca nuevamente a la recta que pasa por $B$ perpendicular a $BD$ en el punto $F$ . Demuestre que el triángulo $ABF$ es isósceles. P3. A lo largo de la costa de una isla con forma de círculo, se colocan $2016$ faros. Un funcionario descuidado, simulando actividad vigorosa, cambia el estado de tres faros cada día: o tres consecutivos, o tres igualmente espaciados (es decir, en el patrón $ABABA$ , cambia el estado de los faros $A$ ). El funcionario será despedido si en algún momento todos los faros están apagados. ¿Debería preocuparse por su empleo si recuerda que en algún momento solo un faro estaba encendido? (El estado de un faro se alterna: se enciende si estaba apagado, y viceversa.) P4. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. El punto medio $M$ del lado $AD$ está sobre la mediatriz del lado $BC$ . Demuestre que $M$ es equidistante de los puntos medios de los arcos $\widehat{AB}$ y $\widehat{CD}$ . P5. Halle todos los pares de enteros $(x,y)$ que satisfacen la ecuación $x^{2}+y^{2}=2x+xy+2y$ . P6. En una gran conferencia de traductores, algunos participantes conocen varios idiomas. Se sabe que $2016$ traductores conocen kazajo, $2016$ conocen ruso y $2016$ conocen inglés. ¿Para cuáles números naturales $p$ es siempre posible elegir un grupo de traductores tal que exactamente $p$ de ellos conozcan kazajo, exactamente $p$ conozcan ruso y exactamente $p$ conozcan inglés?

. Una prueba de matemáticas en la isla de los caballeros y los bribones fue tomada por $100$ estudiantes, cada uno de los cuales es un caballero (que siempre dice la verdad) o un bribón (que siempre miente). Los primeros $60$ estudiantes, uno por uno al salir del salón después de la prueba, declararon: “Entre los estudiantes que permanecen en el salón, hay más bribones que caballeros”. ¿Cuántos caballeros tomaron la prueba? P2. Una operación $\nabla$ está definida para todos los enteros $n$ como sigue: $\nabla n=n-1$ , si $n$ es impar, y $n^{2}-1$ si $n$ es par. Por ejemplo, $\nabla15=14$ y $\nabla(-6)=35$ . ¿Para cuáles enteros $n$ se cumple la igualdad $\nabla(\nabla n)=3$ ? P3. Desde el vértice $A$ del triángulo $ABC$ , se trazan las perpendiculares $AP$ y $AQ$ a las bisectrices de los ángulos en los vértices $B$ y $C$ , respectivamente. (a) Demuestre que el segmento $PQ$ es paralelo al lado $BC$ del triángulo $ABC$ . (b) Halle la longitud de $PQ$ si $BC=a$ , $AC=b$ y $AB=c$ . P4. ¿Es posible colocar seis fotógrafos en un plano de modo que cada uno de ellos pueda fotografiar exactamente a otros cuatro? (Los fotógrafos $A$ y $B$ pueden fotografiarse mutuamente si no hay otros fotógrafos en el segmento $AB$ . ) P5. Halle todos los números naturales $n$ tales que los tres números $n^{2}-10n+23, n^{2}-9n+31, n^{2}-12n+46$ son todos primos. P6. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse $4$ naranjas y $15$ manzanas en una fila de modo que entre dos naranjas cualesquiera haya al menos dos manzanas (todas las naranjas son idénticas y todas las manzanas son idénticas)?

5 Sean $k$ y $n$ enteros tales que $k \ge 3$ y $n > \binom{k}{3}$ . Si $a_i, b_i, c_i$ $(1 \le i \le n)$ son $3n$ números reales distintos, demuestre que hay al menos $k+1$ números distintos entre los $3n$ números $a_i + b_i, a_i + c_i, b_i + c_i \ (1 \le i \le n)$ . Demuestre que esta afirmación no es necesariamente cierta cuando $n = \binom{k}{3}$ .