4 Halle todos los pares de enteros $(x,y)$ que satisfacen \[(x^{2}-3x-1)(x^{2}-x+1)=7\cdot3^{y}.\]

3 Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que \[x+y+z\geqslant\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\;\text{and}\;xyz=1.\] Demuestre que $\min\{x+y, y+z, z+x\}\leqslant2$ .

1 Demuestre que el número $A=\frac{1^{4}+2024^{4}+2025^{4}}{1^{2}+2024^{2}+2025^{2}}$ es un entero.

1 (a) Demuestre que para todos los números reales $x, y, z$ , \[x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz).\] (b) Halle todos los pares $(a,b)$ de números reales que satisfacen $a^{3}+b^{3}+6ab=8$ .

3 ¿Cuál es el número máximo de fichas que se pueden colocar en las casillas de un tablero de ajedrez de modo que cada fila horizontal, cada columna vertical y cada diagonal contenga un número par de fichas?

4 En el rombo $ABCD$ , la medida del ángulo $B$ es $40^\circ$ , $E$ es el punto medio de $BC$ , $F$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a $DE$ . Halle la medida del ángulo $DFC$ .

4 En el triángulo $ABC$ , el ángulo $C$ es un ángulo recto. Sobre el lado $AC$ hay un punto $D$ , y sobre el segmento $BD$ hay un punto $K$ tal que $\angle ABC = \angle KAD = \angle AKD$ . Demuestre que $BK= 2DC$ .

4 Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $2k$ con entradas $1$ a $4k^2$ en algún orden, cada una exactamente una vez. (a) Demuestre que existe una fila o una columna con dos entradas cuya diferencia es al menos $2k^2$ . (b) Demuestre que existe una fila o una columna con dos entradas cuya diferencia es al menos $2k^2+k-1$ . (c) Para $k=2$ , halle una $A$ tal que la diferencia entre cualesquiera dos entradas de la misma fila o columna sea a lo sumo $9$ .

3 Marat tiene $500$ dólares en una cuenta bancaria. El banco permite solo dos tipos de operaciones: retirar $300$ dólares o depositar $198$ dólares. ¿Cuál es la cantidad máxima de dinero que Marat puede retirar de la cuenta si no tiene otro dinero?

2 Baba Yaga recolectó setas comestibles y matamoscas durante tres días. En el segundo día, recolectó el doble de matamoscas que en el primer día, y dos setas comestibles más que en el primer día. En el tercer día, recolectó dos matamoscas más que en el segundo día, y el doble de setas comestibles que en el segundo día. En total, Baba Yaga recolectó $100$ setas durante los tres días. ¿Cuál es el número mínimo posible de setas que pudo haber recolectado en el primer día?