1 ¿Es posible numerar los $8$ vértices de un cubo del $1$ al $8$ de manera que la suma en cada arista sea diferente?

3 Demuestre que $\frac1{15} < \frac12\cdot\frac34\cdots\frac{99}{100} < \frac1{10}$

1 El fútbol de 3 se juega de la siguiente manera: 2 jugadores de campo intentan marcar un gol al portero; el que marca el gol es portero en el siguiente juego, etc. Arne, Bart y Cauchy jugaron este juego. Más tarde, le dicen a su profesor de matemáticas que A estuvo 12 veces en el campo, B 21 veces en el campo y C 8 veces en la portería. Su profesor sabe quién marcó el sexto gol. ¿Quién lo marcó?

4 Considere todos los puntos de coordenadas enteras en el plano cartesiano. Si se traza un círculo con centro M(0,0) y un radio r bien elegido, el círculo pasa por algunos de esos puntos (por ejemplo, el círculo con $r=2\sqrt2$ pasa por 4 puntos). Demuestre que $\forall n\in \mathbb{N}, \exists r$ tal que el círculo con centro 0,0 y radio $r$ pasa por al menos $n$ puntos.

2 Se da un cubo de aristas de longitud 1, $e$ el punto medio de $[bc]$ y $m$ el punto medio de la cara $cdc_1d_1$ , como en la figura. Halle el área de la intersección del cubo con el plano que pasa por los puntos $a,m,e$ . https://1.bp.blogspot.com/-tKTjm0ObL-E/XWuvxQdKKZI/AAAAAAAAKpM/3mYA93r8D6E1kFumgNVVz2HDyiNkTeCqACK4BGAYYCw/s400/1998%2Bflandres%2Bp2.png

3 Un cuadrado mágico $3\times3$ es una matriz $3\times3$ que contiene todos los números del 1 al 9 y en la cual la suma de cada fila, de cada columna y de cada diagonal son todas iguales. Determine todos los cuadrados mágicos $3\times3$

1 Puede ser un desafío para la sección de principiantes, pero cualquiera es capaz de resolverlo si de verdad lo intenta. Demuestre que para todo natural $n > 1$ se tiene: $(n-1)^2|\ n^{n-1}-1$

2 Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en $S$ . La tangente a $C_1$ en $S$ interseca a $C_2$ en $A$ , distinto de $S$ . La tangente a $C_2$ en $S$ interseca a $C_1$ en $B$ , distinto de $S$ . Otro círculo $C_3$ pasa por $A, B, S$ . La tangente a $C_3$ en $S$ interseca a $C_1$ en $P$ , distinto de $S$ , y a $C_2$ en $Q$ , distinto de $S$ . Demuestre que la distancia $PS$ es igual a la distancia $QS$ .

4 Una mesa de billar (véase la imagen). Una bola blanca está en $p_1$ y una bola roja está en $p_2$ . La bola blanca se lanza hacia la bola roja como se muestra en la imagen, golpeando primero 3 lados. Halle la distancia mínima que debe recorrer la bola. https://2.bp.blogspot.com/-3GaeUhsJPnI/XWuvrrdKJtI/AAAAAAAAKpE/_-5AW3nyj-khi_skQVlz2STjFNaUpi7MACK4BGAYYCw/s400/1998%2Bflandres%2Bp4.png

1 Escriba el número 1997 como suma de enteros positivos cuyo producto sea máximo, y demuestre que no existe una mejor solución.