2 Sea $n \ge 2$ un entero. Demuestre que existen $n+1$ números $x_1, x_2, \ldots, x_{n+1} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ , tales que $\{ x_1^3 \} + \{ x_2^3 \} + \cdots + \{ x_n^3 \}=\{ x_{n+1}^3 \}$ , donde $\{ x \}$ es la parte fraccionaria de $x$ .

2 Sea $a$ un número real en el intervalo abierto $(0,1)$ . Sea $n\geq 2$ un entero positivo y sea $f_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f_n(x) = x+\frac{x^2}{n}$ . Demuestre que \[\frac{a(1-a)n^2+2a^2n+a^3}{(1-a)^2n^2+a(2-a)n+a^2}<(f_n \circ\ \cdots\ \circ f_n)(a)<\frac{an+a^2}{(1-a)n+a}\] donde hay $n$ funciones en la composición.

3 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que todos los enteros positivos menores que $n$ y coprimos con $n$ son potencias de primos.

4 Sea $f$ la función del conjunto de los enteros positivos en sí mismo, definida por $f(1) = 1$ , $f(2n) = f(n)$ y $f(2n + 1) = f(n) + f(n + 1)$ . Demuestre que, para todo entero positivo $n$ , el número de enteros positivos impares m tales que $f(m) = n$ es igual al número de enteros positivos menores o iguales que $n$ y coprimos con $n$ . [mod: el enunciado inicial decía menores que $n$ , lo cual es incorrecto.]

1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles, $AB = AC$ , y sean $M$ y $N$ puntos sobre los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle BAM=\angle CNM$ . Las rectas $AB$ y $MN$ se cortan en $P$ . Demuestre que las bisectrices interiores de los ángulos $BAM$ y $BPM$ se cortan en un punto de la recta $BC$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo y sean $X$ , $Y$ , $Z$ puntos interiores sobre los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Demuestre que la imagen ampliada del triángulo $XYZ$ bajo una homotecia de factor $4$ desde su baricentro cubre al menos uno de los vértices $A$ , $B$ , $C$ .

3 Sea $A_0A_1A_2$ un triángulo escaleno. Halle el lugar geométrico de los centros de los triángulos equiláteros $X_0X_1X_2$ , tales que $A_k$ se encuentra sobre la recta $X_{k+1}X_{k+2}$ para cada $k=0,1,2$ (con los índices tomados módulo $3$ ) .

2 Para todo entero positivo $n$ , sea $\sigma(n)$ la suma de todos los divisores positivos de $n$ ( $1$ y $n$ , inclusive). Demuestre que un entero positivo $n$ , que tiene a lo sumo dos factores primos distintos, satisface la condición $\sigma(n)=2n-2$ si y solo si $n=2^k(2^{k+1}+1)$ , donde $k$ es un entero no negativo y $2^{k+1}+1$ es primo.

3 Determine la menor constante real $c$ tal que \[\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}x_j \right )^2\leq c\sum_{k=1}^{n}x_k^2\] para todo entero positivo $n$ y todos los números reales positivos $x_1,\cdots ,x_n$ .

4 Sea $n$ un entero positivo y sean $A_n$ y $B_n$ , respectivamente, los conjuntos de enteros no negativos $k<n$ tales que el número de factores primos distintos de $\gcd(n,k)$ es par (respectivamente, impar). Demuestre que $|A_n|=|B_n|$ si $n$ es par y $|A_n|>|B_n|$ si $n$ es impar. Ejemplo: $A_{10} = \left\{ 0,1,3,7,9 \right\}$ , $B_{10} = \left\{ 2,4,5,6,8 \right\}$ .