3 Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros positivos. Para cada $n\in\mathbb{N}$ , sean $a_{1}^{(n)}, a_{2}^{(n)}, \dots , a_{n}^{(n)}$ enteros positivos fijos que dan residuos diferentes por pares módulo $n$ y sea \[g(n) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(a_{i}^{(n)}) = f(a_{1}^{(n)}) + f(a_{2}^{(n)}) + \dots + f(a_{n}^{(n)})\] Demuestre que existe una constante $M$ tal que para todos los enteros $m>M$ se tiene $\gcd(m, g(m))>2023^{2023}$ .

6 En una clase de $26$ estudiantes, cada uno es calificado en cinco asignaturas con una de tres notas posibles. Demuestre que si $25$ de estos estudiantes ya han recibido sus notas, entonces podemos calificar al último de manera que sus notas difieran de las de cualquier otro estudiante en al menos dos asignaturas.

2 Si $a+b=1$, con $ \in \mathbb{R}$, y $ab \ne 0$, demuestre que $$\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}$$

1 Determine todas las sucesiones infinitas $a_1, a_2, \ldots$ de números reales tales que \[ a_{m^2 + m + n} = a_{m}^2 + a_m + a_n\] para todos los enteros positivos $m$ y $n$ .

2 Se dan $50$ puntos en el plano, sin que tres de ellos pertenezcan a una misma recta. Cada uno de estos puntos se colorea usando uno de cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.

2 Determina todos los enteros positivos \(n>1\) tales que para cualquier divisor \(d\) de \(n,\) los números \(d^2-d+1\) y \(d^2+d+1\) son primos. Lucian Petrescu

2 Exactamente \( n \) casillas de una cuadrícula de \( n \times n \) se colorean de negro, y las casillas restantes de blanco. El costo de tal coloración es el número mínimo de casillas blancas que deben recolorearse de negro para que desde cualquier casilla negra \( c_0 \) se pueda llegar a cualquier otra casilla negra \( c_k \) a través de una sucesión \( c_0, c_1, \ldots, c_k \) de casillas negras en la que cada par consecutivo \( c_i, c_{i+1} \) sea adyacente (compartan un lado común) para todo \( i = 0, 1, \ldots, k-1 \) . Sea \( f(n) \) el costo máximo posible entre todas las coloraciones iniciales con exactamente \( n \) casillas negras. Determine una constante $\alpha$ tal que \[ \frac{1}{3}n^{\alpha} \leq f(n) \leq 3n^{\alpha} \] para todo $n\geq 100$ .

3 Sea $P(x)$ un polinomio mónico no constante con coeficientes enteros y sea $a_1, a_2, \ldots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Demuestre que hay infinitos primos, cada uno de los cuales divide al menos un término de la sucesión $P(n)^{a_n} + 1$ .

4 Sea \( ABC \) un triángulo acutángulo con \( AB < AC \) , punto medio $M$ del lado $BC$ , altura \( AD \) ( \( D \in BC \) ) y ortocentro \( H \) . Una circunferencia pasa por los puntos \( B \) y \( D \) , es tangente a la recta \( AB \) e interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo \( ABC \) en un segundo punto \( Q \) . La circunferencia circunscrita del triángulo \( QDH \) interseca a la recta \( BC \) en un segundo punto \( P \) . Demuestre que las rectas \( MH \) y \( AP \) son perpendiculares.

5 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un entero positivo $a$ tal que exactamente $\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor$ de los enteros $a + 1, a + 2, \ldots, a + n$ son libres de cuadrados.