4 $8$ personas participan en una fiesta. (1) Entre cualesquiera $5$ personas hay $3$ que se conocen mutuamente por pares. Demuestre que hay $4$ personas que se conocen mutuamente por pares. (2) Si entre cualesquiera $6$ personas hay $3$ que se conocen mutuamente por pares, ¿podemos encontrar $4$ personas que se conozcan mutuamente por pares?

1 Como se muestra en la figura siguiente, el punto $ P$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC.$ Las rectas $ AB$ y $ CP$ se cortan en $ E,$ y las rectas $ AC$ y $ BP$ se cortan en $ F.$ La mediatriz del segmento $ AB$ corta al segmento $ AC$ en $ K,$ y la mediatriz del segmento $ AC$ corta al segmento $ AB$ en $ J.$ Demuestre que \[ \left(\frac{CE}{BF} \right)^2 = \frac{AJ \cdot JE}{AK \cdot KF}.\]

3 Muestre que para cualquier $i=1,2,3$, existen infinitos enteros positivos $n$ tales que entre $n$, $n+2$ y $n+28$, hay exactamente $i$ términos que pueden ser expresados como la suma de los cubos de tres enteros positivos.

17 La sucesión de funciones $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ está definida para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestre que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todos los enteros $n \geq 1.$ Amir

2 En una liga de fútbol hay $n\geq 6$ equipos. Cada equipo tiene una camiseta de local y una camiseta de visitante de colores diferentes. Cuando juegan dos equipos, el equipo local siempre usa la camiseta de local y el equipo visitante usa su camiseta de local si el color es diferente del de la camiseta de local del equipo local; en caso contrario, el equipo visitante usará su camiseta de visitante. Se requiere que en cualesquiera dos partidos con 4 equipos diferentes, las camisetas de los 4 equipos tengan al menos 3 colores diferentes. Halle el menor número de colores que pueden usar las $2n$ camisetas de los $n$ equipos.

4 Sean $x, y \in \mathbb{R}^+$ . Demuestre que: \[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \left( 1 + \frac{1}{y} \right) \geq \left( 1 + \frac{2}{x + y} \right)^2. \]

6 Sobre la recta real se marcan $22$ puntos: $$0 \leqslant a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_{21} < a_{22} \leqslant 1.$$ La operación permitida consiste en elegir dos puntos cualesquiera $A$ y $B$, borrarlos y marcar el punto medio de $AB$. Demuestre que, independientemente de la configuración inicial de los $22$ puntos, es posible realizar $20$ operaciones permitidas de modo que, después de estas operaciones, la distancia entre los únicos dos puntos restantes sea a lo sumo $0.001$. Nota: Suponga que en cada operación, el punto medio de $AB$ no coincide con ninguno de los puntos ya marcados.

2012.G2 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $M$ y $N$ puntos variables sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que ni $M$ ni $N$ se encuentran en los vértices, y además, $AM \times MB = AN \times NC$. Demuestra que la mediatriz de $MN$ pasa por un punto fijo.

8.1 Se da un pentágono cíclico $ABCDE$. Las diagonales $AC$ y $CE$ son iguales y se cortan con $BD$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Se sabe que $BM = ND$, $BC \neq CD$. Demuestra que el reflejo de $C$ respecto al punto medio de $BD$ se encuentra sobre $AE$. Propuesto por I. Kukharchuk, E. Galakhova.

N2 Un entero positivo se llama Tiranian si puede escribirse como $x^2+6xy+y^2$ , donde $x$ e $y$ son enteros positivos (no necesariamente distintos). El entero $36^{2023}$ se escribe como la suma de $k$ enteros Tiranian. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ ? Propuesto por Miroslav Marinov, Bulgaria