2 Hay $315$ canicas divididas en tres montones de $81, 115$ y $119$ . En cada movimiento, Ah Meng puede fusionar varios montones en un solo montón o dividir un montón con un número par de canicas en $2$ montones iguales. ¿Puede Ah Meng dividir las canicas en $315$ montones, cada uno con una sola canica?

4 Sean $a>b>0$ . Demuestre que $\sqrt2 a^3+ \frac{3}{ab-b^2}\ge 10$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

1 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales se intersecan en $O$ , y $M$ y $N$ son puntos de los segmentos $OA$ y $OD$ respectivamente. Suponga que $MN$ es paralelo a $AD$ y que $NC$ es paralelo a $AB$ . Demuestre que $\angle ABM=\angle NCD$ .

3 Halle todos los enteros positivos $m, n$ tales que $\frac{2m-1}{n}$ y $\frac{2n-1}{m}$ son ambos enteros.

2 ¿Cuál es el número máximo de enteros que pueden elegirse de $1,2,\dots,99$ de modo que los enteros elegidos puedan disponerse en una circunferencia con la propiedad de que el producto de cada par de enteros vecinos sea un número de 3 cifras?

3 Definimos un dominó como un bloque rectangular de $1\times 2$ . Una cuadrícula cuadrada de $2023\times 2023$ se rellena con dominós no superpuestos, dejando un único hueco de $1\times 1$ . John desliza repetidamente dominós hacia el hueco; cada dominó se mueve a lo sumo una vez. ¿Cuál es el número máximo de veces que John podría haber movido un dominó? (Ejemplo: en la cuadrícula de $3\times 3$ que se muestra abajo, John podría mover 2 dominós: $D$ , seguido de $A$ . ) [asy] unitsize(18); draw((0,0)--(3,0)--(3,3)--(0,3)--(0,0)--cycle); draw((0,1)--(3,1)); draw((2,0)--(2,3)); draw((1,1)--(1,3)); label("A",(0.5,2)); label("B",(1.5,2)); label("C",(2.5,2)); label("D",(1,0.5)); [/asy]

2 En $\vartriangle ABC, AB=AC=14 \sqrt2 , D$ es el punto medio de $CA$ y $E$ es el punto medio de $BD$ . Suponga que $\vartriangle CDE$ es semejante a $\vartriangle ABC$ . Halle la longitud de $BD$ .

4 Considere un polígono de $m + n$ lados donde $m, n$ son enteros positivos. Coloree $m$ de sus vértices de rojo y los $n$ vértices restantes de azul. A un lado se le asigna el número $2$ si sus dos vértices extremos son rojos, el número $1/2.$ si sus dos vértices extremos son azules y el número $1$ en caso contrario. Sea $P$ el producto de estos números. Halle el mayor valor posible de $P$ .

5 Sean $a, b, c$ enteros no nulos, con $1$ como único divisor común positivo, tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 0$ . Halle el número de tales ternas $(a, b, c)$ con $50 \ge |a| \ge |b| \ge |c| 1$ .

1 Un cuadrado se corta en varios rectángulos, ninguno de los cuales es un cuadrado, de modo que los lados de cada rectángulo son paralelos a los lados del cuadrado. Para cada rectángulo con lados $a, b,a<b$ , calcule la razón $a/b$ . Demuestre que la suma de estas razones es al menos $1$ .