6 Para un entero positivo $n$ y números reales $a_1, a_2, \dots ,a_n$ definimos $b_1, b_2, \dots ,b_{n+1}$ tales que $b_k=a_k+\max({a_{k+1},a_{k+2}})$ para todo $1\leq k \leq n$ y $b_{n+1}=b_1$ . (También $a_{n+1}=a_1$ y $a_{n+2}=a_2$ ) Halle el menor valor posible de $\lambda$ tal que para todo $n, a_1, \dots, a_n$ se cumpla la desigualdad $$\lambda \Biggl[ \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})^{2024} \Biggr] \geq \sum_{i=1}^n(b_i-b_{i+1})^{2024}$$ .

6 Hay $N$ tarjetas rojas y $N$ tarjetas azules. En cada tarjeta está escrito un entero positivo entre $1$ y $N$ (inclusive). Demuestre que podemos elegir un subconjunto (no vacío) de las tarjetas rojas y un subconjunto (no vacío) de las tarjetas azules, de modo que la suma de los números de las tarjetas rojas elegidas sea igual a la suma de los números de las tarjetas azules elegidas.

G1 Sea $BM$ una mediana en un triángulo acutángulo $ABC$. Se elige un punto $K$ sobre la recta que pasa por $C$ y es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle BMC$, de modo que $\angle KBC = 90^\circ$. Los segmentos $AK$ y $BM$ se cortan en $J$. Demuestra que el circuncentro de $\triangle BJK$ está sobre la recta $AC$. Aleksandr Kuznetsov, Rusia

3 Sea $n$ un entero positivo, y sean $p$ y $q$ números primos tales que \[ pq \mid n^p+2 \quad \text{and} \quad n+2 \mid n^p+q^p. \] Demuestre que existe un entero positivo $m$ que satisface $q \mid 4^m \cdot n +2$.

Hay 60 cajas vacías $B_1,\ldots,B_{60}$ en fila sobre una mesa y un suministro ilimitado de piedritas. Dado un entero positivo $n$ , Alicia y Bob juegan al siguiente juego. En la primera ronda, Alicia toma $n$ piedritas y las distribuye en las 60 cajas como desee. Cada ronda siguiente consta de dos pasos: (a) Bob elige un entero $k$ con $1\leq k\leq 59$ y divide las cajas en los dos grupos $B_1,\ldots,B_k$ y $B_{k+1},\ldots,B_{60}$ . (b) Alicia elige uno de estos dos grupos, añade una piedrita a cada caja de ese grupo y retira una piedrita de cada caja del otro grupo. Bob gana si, al final de cualquier ronda, alguna caja no contiene piedritas. Halle el menor $n$ tal que Alicia pueda impedir que Bob gane. Czech Republic

5 Sobre la mesa hay $1000$ cartas dispuestas en círculo. En cada carta se escribió un entero positivo de modo que los $1000$ números sean todos distintos. Primero, Vasya elige una de las cartas, la retira del círculo, y hace la siguiente operación: si en la última carta retirada estaba escrito el entero positivo $k$ , cuenta la $k^{th}$ carta en sentido horario que no haya sido retirada, a partir de esa posición, la retira y repite la operación. Esto continúa hasta que solo queda una carta sobre la mesa. ¿Es posible que, inicialmente, exista una carta $A$ tal que, sin importar qué otra carta elija Vasya como primera, la que quede sea siempre la carta $A$ ? ThE-dArK-lOrD

Las funciones $f,g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisfacen $$f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$$ para cualesquiera enteros $x,y$ . Si $f$ es acotada, demuestre que $g$ es periódica.

. Resuelva la ecuación $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2015$ en enteros. P2. Sean $a \leqslant b \leqslant c$ números reales. Demuestre la desigualdad $c^{2}-b^{2}+a^{2}\geqslant(c-b+a)^{2}$ . P3. Sean $M$ , $N$ y $K$ los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ y $CA$ del triángulo $ABC$ , respectivamente. Se elige un punto $P$ sobre el segmento $MN$ y un punto $Q$ sobre el segmento $NK$ . ¿Es posible que las relaciones $AP+AQ=BC$ y $BQ+CP=AB+AC$ se cumplan simultáneamente? P4. Los números naturales del $1$ al $30\,000$ se escriben consecutivamente: $123456789101112\ldots2999930000$ . ¿Cuántas veces aparece la combinación de dígitos $2015$ (en este orden exacto) en esta secuencia? P5. Cada casilla de una cuadrícula rectangular contiene un número real, y no hay dos números iguales en la cuadrícula. En cada fila se elige el número más grande, y sea $A$ el más pequeño entre ellos. En cada columna se elige el número más pequeño, y sea $B$ el más grande entre ellos. Compare los números $A$ y $B$ . P6. En el plano se dan una recta $l$ y un segmento $s$ que está sobre una recta paralela a $l$ . Usando solamente una regla sin marcas, construya el punto medio del segmento $s$ .

2 Halle el menor número positivo m tal que para cualquier polinomio f(x) con coeficientes reales, existe un polinomio g(x) con coeficientes reales (de grado no mayor que m) tal que existen 2017 números distintos $a_1,a_2,...,a_{2017}$ tales que $g(a_i)=f(a_{i+1})$ para i=1,2,...,2017 donde los índices se toman módulo 2017. sengeki-niju

4 Demuestra que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ . (El $k$ no está fijo, así que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ subconjuntos no vacíos posibles.)