5 Resuelva la siguiente ecuación en el conjunto de los números enteros: \[ x^{2010}-2006=4y^{2009}+4y^{2008}+2007y. \]

1 Halle los números reales $a$, $b$, $c$ y $d$ que satisfacen las siguientes ecuaciones: $$\left \{\begin{matrix} a\cdot b+c+d & = & 6, \\ b\cdot c+d+a & = & 2, \\ c\cdot d+a+b & = & 5, \\ d\cdot a+b+c & = & 3. \end{matrix}\right .$$

1 Sean $a, b$ enteros positivos y $p, q$ números primos para los cuales $p \nmid q - 1$ y $q \mid a^p - b^p$ . Demuestre que $q \mid a - b$ .

2 Considere un tablero cuadrado de $8 \times 8$ con sus $64$ celdas inicialmente blancas. Determine el número mínimo de colores necesarios para colorear las celdas (cada una con un solo color) de manera que si cuatro celdas del tablero pueden ser cubiertas por una ficha con forma de $L$ como se muestra en la figura, entonces las cuatro celdas son de colores diferentes. [asy] size(3cm); draw((1,0)--(1,1)--(2,1)--(2,0)--(1,0)--(0,0)--(0,1)--(0,2)--(1,2)--(1,1)--(0,1)--(1,1)--(2,1)--(3,1)--(3,0)--(2,0)); [/asy] Nota: La ficha con forma de $L$ puede rotarse o voltearse.

4 Sobre una mesa hay $10\,000$ cerillas, dos de las cuales están dentro de una caja. Ana y Beto juegan por turnos el siguiente juego. En cada turno, un jugador añade a la caja un número de cerillas igual a un divisor propio del número actual de cerillas en la caja. El juego termina cuando, por primera vez, hay más de $2024$ cerillas en la caja, y la persona que jugó el último turno es la ganadora. Si Ana comienza el juego, determine quién tiene una estrategia ganadora.

2 Sean $x_1, ..., x_n$ ( $n \ge 2$ ) números reales del intervalo $[1, 2]$ . Demuestre que $|x_1 - x_2| + ... + |x_n - x_1| \le \frac{2}{3}(x_1 + ... + x_n)$ , con igualdad si y solo si $n$ es par y la $n$ - tupla $(x_1, x_2, ..., x_{n - 1}, x_n)$ es igual a $(1, 2, ..., 1, 2)$ o a $(2, 1, ..., 2, 1)$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $A_1, B_1, C_1$ puntos en los lados $BC, CA, AB$ , respectivamente, tales que $AA_1, BB_1, CC_1$ son las bisectrices internas de los ángulos de $\triangle ABC$ . La circunferencia circunscrita $k' = (A_1B_1C_1)$ es tangente al lado $BC$ en $A_1$ . Sean $B_2$ y $C_2$ , respectivamente, los segundos puntos de intersección de $k'$ con las rectas $AC$ y $AB$ . Demuestre que $|AB| = |AC|$ o $|AC_1| = |AB_2|$ .

4 Sea $S$ un conjunto finito no vacío, y sea $\mathcal {F}$ una colección de subconjuntos de $S$ tal que se cumplen las siguientes condiciones: (i) $\mathcal {F}$ $\setminus$ { $S$ } $\neq$ $\emptyset$ ; (ii) si $F_1, F_2 \in \mathcal {F}$ , entonces $F_1 \cap F_2 \in \mathcal {F}$ y $F_1 \cup F_2 \in \mathcal {F}$ . Demuestre que existe $a \in S$ que pertenece a lo sumo a la mitad de los elementos de $\mathcal {F}$ .

Sea $t_{k} = a_{1}^k + a_{2}^k +...+a_{n}^k$ , donde $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... $a_{n}$ son números reales positivos y $k \in \mathbb{N}$ . Demuestre que $$\frac{t_{5}^2 t_1^{6}}{15} - \frac{t_{4}^4 t_{2}^2 t_{1}^2}{6} + \frac{t_{2}^3 t_{4}^5}{10} \geq 0 $$ Propuesto por Daniel Velinov

Determine todos los números naturales $n$ tales que $9^n - 7$ se puede representar como un producto de al menos dos números naturales consecutivos.