En un círculo de radio 42, dos cuerdas de longitud 78 se intersecan en un punto cuya distancia al centro es 18. Las dos cuerdas dividen el interior del círculo en cuatro regiones. Dos de estas regiones están bordeadas por segmentos de longitudes desiguales, y el área de cualquiera de ellas puede expresarse de manera única en la forma $m\pi-n\sqrt{d},$ donde $m, n$ y $d$ son enteros positivos y $d$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Encuentra $m+n+d.$

3 Una circunferencia está circunscrita alrededor de un triángulo $ABC$ . El punto $M$ es el punto medio del arco $AC$ (que no incluye al vértice $B$ ) , y $N$ es el punto medio del arco $AB$ (que no incluye al vértice $C$ ) . Los segmentos $MN$ y $AB$ se intersecan en el punto $K$ . El centro de la circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es $O$ . Demuestre que $KO$ es paralela al lado $AC$ .

2 En el pizarrón están escritos varios números primos (algunos repetidos). Mauro sumó los números del pizarrón y Fernando multiplicó los números del pizarrón. El resultado que obtuvo Fernando es igual a $40$ veces el resultado que obtuvo Mauro. Determina cuáles pueden ser los números del pizarrón. Da todas las posibilidades.

Dado que $(1+\sin t)(1+\cos t)=5/4$ y \[ (1-\sin t)(1-\cos t)=\frac mn-\sqrt{k}, \] donde $k, m$ y $n$ son enteros positivos con $m$ y $n$ primos relativos, encuentra $k+m+n.$

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$ , y sea $D$ un punto interior del lado $AB$ tal que $AD< DB$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos interiores de los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle DPB = \angle DQA = 90^{\circ}$ . Sea la mediatriz de $PQ$ que corta al segmento $CQ$ en $E$ , y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ se cortan de nuevo en el punto $F$ , distinto de $C$ . Suponga que $P$ , $E$ , $F$ son colineales. Demuestre que $\angle ACB = 90^{\circ}$ .

1 ¿Qué enteros positivos $n$ hacen verdadera la ecuación \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left\lfloor \frac{ij}{n+1} \right\rfloor=\frac{n^2(n-1)}{4}\] ?

C7 Considere cualquier tabla rectangular con finitas filas y columnas, con un número real $a(r, c)$ en la casilla de la fila $r$ y la columna $c$ . Un par $(R, C)$ , donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ un conjunto de columnas, se llama par de silla si se satisfacen las dos condiciones siguientes: $(i)$ Para cada fila $r^{\prime}$ , existe $r \in R$ tal que $a(r, c) \geqslant a\left(r^{\prime}, c\right)$ para todo $c \in C$ ; $(ii)$ Para cada columna $c^{\prime}$ , existe $c \in C$ tal que $a(r, c) \leqslant a\left(r, c^{\prime}\right)$ para todo $r \in R$ . Un par de silla $(R, C)$ se llama par minimal si para cada par de silla $\left(R^{\prime}, C^{\prime}\right)$ con $R^{\prime} \subseteq R$ y $C^{\prime} \subseteq C$ , se tiene $R^{\prime}=R$ y $C^{\prime}=C$ . Demuestre que cualesquiera dos pares minimales contienen el mismo número de filas.

1 Dado un número entero positivo $k$ , defina la función $f$ del conjunto de todos los números enteros positivos en sí mismo mediante \[f(n)=\begin{cases}1, &\text{if }n\le k+1\\ f(f(n-1))+f(n-f(n-1)), &\text{if }n>k+1\end{cases}\] Demuestre que la preimagen de todo número entero positivo bajo $f$ es un conjunto finito no vacío de enteros positivos consecutivos.

5 Sea $r\geq2$ un entero positivo fijo, y sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de tamaño $r$, sin que dos de ellos sean disjuntos. Demuestra que existe un conjunto de tamaño $r-1$ que interseca a cada conjunto en $F$.

3 En la circunferencia con centro $ O $ está inscrito un cuadrilátero $ ABCD $ , distinto de un trapecio. Sea $ M $ el punto de intersección de las diagonales, $ K $ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ BMC $ y $ DMA $ , y $ L $ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ AMB $ y $ CMD $ , donde $ K $ , $ L $ y $ M $ son puntos distintos. Demuestre que alrededor del cuadrilátero $ OLMK $ se puede circunscribir una circunferencia.