1 Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias concéntricas con $C_1$ en el interior de $C_2$ . Sean $P_1$ y $P_2$ dos puntos sobre $C_1$ que no son diametralmente opuestos. Prolongue el segmento $P_1P_2$ más allá de $P_2$ hasta que corte a la circunferencia $C_2$ en $Q_2$ . La tangente a $C_2$ en $Q_2$ y la tangente a $C_1$ en $P_1$ se cortan en un punto $X$ . Trace desde X la segunda tangente a $C_2$ , que corta a $C_2$ en el punto $Q_1$ . Muestre que $P_1X$ biseca al ángulo $Q_1P_1Q_2$ .

2 ¿De cuántas maneras se pueden permutar los primeros $n$ enteros positivos de modo que, en la permutación, para cada valor de $k \le n$ , los primeros $k$ elementos de la permutación tengan restos distintos módulo $k$ ?

3 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$ , $|AB|>|CD|$ , y lados iguales $|AD|=|BC|$ . Sea $I$ el centro de la circunferencia tangente a las rectas $AB$ , $AC$ y $BD$ , donde $A$ e $I$ están en lados opuestos de $BD$ . Sea $J$ el centro de la circunferencia tangente a las rectas $CD$ , $AC$ y $BD$ , donde $D$ y $J$ están en lados opuestos de $AC$ . Demuestre que $|IC|=|JB|$ .

5 Una función $f$ de los enteros positivos en los enteros positivos se llama canadiense si satisface $$\gcd\left(f(f(x)), f(x+y)\right)=\gcd(x, y)$$ para todos los pares de enteros positivos $x$ e $y$ . Halle todos los enteros positivos $m$ tales que $f(m)=m$ para todas las funciones canadienses $f$ .

1 Sea $a_1, a_2, a_3, . . .$ una sucesión de números reales positivos que satisface $a_1 = 1$ y $a^2_{n+1} + a_{n+1} = a_n$ para todo número natural $n$ . Demuestre que $a_n \ge \frac{1}{n}$ para todo número natural $n$ .

2 Ziquan hace un dibujo en el plano para su clase de arte. Comienza colocando su lápiz en el origen y traza una serie de segmentos de recta, de modo que el $n^{th}$ segmento de recta tiene longitud $n$ . No se le permite levantar el lápiz, de manera que el final del $n^{th}$ segmento es el comienzo del segmento $(n + 1)^{th}$ . Se permite que los segmentos trazados se intersequen e incluso se superpongan con segmentos ya trazados. Después de trazar un número finito de segmentos, Ziquan se detiene y entrega su dibujo a su profesor de arte. Aprueba el curso si el dibujo que entrega es un cuadrado de $N$ por $N$ , para algún entero positivo $N$ , y reprueba el curso en caso contrario. ¿Es posible que Ziquan apruebe el curso?

3 Hay $n \ge 3$ números reales positivos distintos. Muestre que hay a lo sumo $n-2$ potencias enteras de tres distintas que pueden escribirse como la suma de tres elementos distintos de estos $n$ números.

4 $ABCD$ es un rombo fijo. El segmento $PQ$ es tangente a la circunferencia inscrita de $ABCD$ , donde $P$ está sobre el lado $AB$ y $Q$ sobre el lado $AD$ . Muestre que, cuando el segmento $PQ$ se mueve, el área de $\Delta CPQ$ es constante.

5 Hay una cantidad finita de monedas en la cartera de David. Los valores de estas monedas son enteros positivos distintos dos a dos. ¿Es posible crear una cartera tal que David tenga exactamente $2020$ maneras diferentes de seleccionar monedas de su cartera de modo que la suma de las monedas seleccionadas sea $2020$ ?

4 Sean $a, b, c$ reales positivos. Demuestre que $a/b+b/c+c/a=>(c+a)/(c+b) + (a+b)/(a+c) + (b+c)/(b+a)$